Раскраска плоскости

[sopor]

Можно ли раскрасить плоскость в два цвета (чёрный и белый) так, чтобы на каждой горизонтальной прямой было не более чем счётное число белых точек, а на каждой вертикальной прямой - не более чем счётное число чёрных точек? (и, конечно, все точки покрашены)

[hippie]

Думаю, что ответ зависит от дополнительных аксиом теории множеств.

Если принять аксиому выбора и континуум гипотезу, то можно:
Минимальным образом вполне упорядочим множество действительных чисел.
Теперь покрасим точку $(x;\,y)$ в белый цвет, если $x$ раньше $y,$ и в чёрный — в противном случае.

[hurtsy]

hippie в сообщении #715508 писал(а):

Думаю, что ответ зависит от дополнительных аксиом теории множеств.

Еще нужна формализация раскраски(аксиомы, определения) . С уважением.

[ИСН]

Напомнило вот эту задачу, не имеющую к данной никакого отношения, но тоже хорошую, и к тому же почему-то брошенную на полпути.

[hippie]

Ответ действительно зависит от выбранных дополнительных аксиом!
Если вместо аксиомы выбора принять аксиому детерминированности, то ответ отрицательный.

При аксиоме детерминированности все множества в $\mathbb{R}^n$ измеримы по Лебегу.
Если множество белых (чёрных) точек, удовлетворяющих условию задачи, измеримо, то (по теореме Фубини) оно имеет меру ноль.
Таким образом, если бы требуемая раскраска плоскости существовала, то плоскость имела бы (плоскую) меру Лебега 0.

Остался неразобранным самый интересный случай: аксиома выбора и отрицание континуум гипотезы:
Можно ли в этом случае дать однозначный ответ? Какой?

[RIP]

Да, существование раскраски эквивалентно континуум-гипотезе (в ZFC, разумеется). Это результат Серпинского.

-- Пт 26.04.2013 19:37:29 --

Есть в книжке W. Sierpiński "Cardinal and ordinal numbers" (гл. XV, п. 3).