Период колебаний заряженного пузыря

[Omega]

Всем доброго времени суток, помогите пожалуйста разобраться со следующей задачей:
Дан самый обычный сферический, заряженный зарядом $Q$, мыльный пузырь радиуса $R_{0}$ и массой $m$. Коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора - $\sigma$.
Необходимо определить период малых колебаний пузыря, учитывая, что при колебаниях он остаётся сферическим.
Полная энергия пузыря:

$$W_{0}=W_{Q}+W_{\sigma}+E_{\text{кин}}=const$$

$$W_{Q}=\dfrac{Q^{2}}{32\pi^{2} \varepsilon_{0} R^{4}};W_{\sigma}=2 \cdot 4\pi \sigma R^{2} + \dfrac{3pV}{2}=8\pi \sigma R^{2} + \dfrac{48\pi R^{3} \sigma}{6R}=16\pi\sigma R^{2}; E_{\text{кин}}=\dfrac{mv^{2}}{2}$$

Чему же равно $v$? Неужели $v=\dfrac{dR}{dt}$? Или же задачу лучше решать через 2 закон Ньютона, а не "энергетически"?
Всем заранее спасибо за помощь.

[ewert]

Omega в сообщении #714914 писал(а):

Чему же равно $v$? Неужели $v=\dfrac{dR}{dt}$?

А чему же ещё?

[nikvic]

Откуда задачка?
Если всё "без газа", то данных слишком много. Если участвует - то нехватка.

[Omega]

В приближении "без газа" оценка будет крайне не точна. И да, я совсем забыл указать, что внутри пузыря самый обычный находящийся при комнатной температуре воздух.
Уравнение $\dfrac{dW_{0}}{dt}=0$ - совсем не уравнение стандартных гармонических колебаний. Так как же тогда найти период именно "малых" колебаний?Или же всё таки к данной задаче этот вопрос не применим?
Задача похожа на ту, что с ВОШ по физике за 2008, но там она упрощена.

[nikvic]

Omega в сообщении #714936 писал(а):

И да, я совсем забыл указать, что внутри пузыря самый обычный находящийся при комнатной температуре воздух.

Тогда фсё ужасно
Показатель адиабаты, скорость звука, кин. энергия ...

[ewert]

Если газ есть, то давление (точнее, перепад давлений внутри и снаружи) однозначно определяется радиусом, зарядом и поверхностным натяжением. Недостаёт в этом случае не столько данных, сколько типа термодинамического процесса: при изотермическом процессе зависимость давления от радиуса одна, при адиабатическом -- другая. И во всяком случае вовсе не такая, как у Вас -- почему-то Вы решили уравновесить этим давлением только поверхностное натяжение. Кроме того, электростатическая энергия у Вас не сходится просто по размерности (в числа не вникал): откуда там $R^4$-то?

[Omega]

Прошу прощения, что-то я совсем не то написал,конечно же:

$$W_{Q}=\dfrac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}$$

[Omega]

Возможно ли решить задачу в предположении, что процесс сжатия газа в пузыре изотермический (какой он на самом-то деле и есть, по-моему) ?К тому же, по ходу моих раздумок у меня возник вопрос, как так вышло, что равновесный радиус пузыря получается верным с использованием и следующего:

$$\dfrac{Q^{2}}{8\pi \varepsilon_{0}R_{0}}=16\pi \sigma R_{0}^{2} \Rightarrow R_{0}= \sqrt[3]{\dfrac{Q^{2}}{128\pi^{2} \varepsilon_{0} \sigma}}$$

И следующего:

$$\dfrac{Q^{2}}{32\pi^{2} \varepsilon_{0}R_{0}^{4}}=\dfrac{4\sigma}{ R_{0}} \Rightarrow R_{0} = \sqrt[3]{\dfrac{Q^{2}}{128\pi^{2} \varepsilon_{0} \sigma}}$$

[DimaM]

Кинетическая энергия воздуха, кстати, будет гораздо больше кинетической энергии пленки.

[Omega]

DimaM, и действительно. Будьте добры, скажите тогда пожалуйста как посчитать эту кинетическую энергию?

[DimaM]

Omega в сообщении #714973 писал(а):

как так вышло, что равновесный радиус пузыря получается верным с использованием и следующего:

$$\dfrac{Q^{2}}{8\pi \varepsilon_{0}R_{0}}=16\pi \sigma R_{0}^{2} \Rightarrow R_{0}= \sqrt[3]{\dfrac{Q^{2}}{128\pi^{2} \varepsilon_{0} \sigma}}$$

И следующего:

$$\dfrac{Q^{2}}{32\pi^{2} \varepsilon_{0}R_{0}^{4}}=\dfrac{4\sigma}{ R_{0}} \Rightarrow R_{0} = \sqrt[3]{\dfrac{Q^{2}}{128\pi^{2} \varepsilon_{0} \sigma}}$$

Просто в первой формуле двойка лишняя (правильно $8\pi \sigma R_{0}^{2}$).

-- 24.04.2013, 19:50 --

Omega в сообщении #714979 писал(а):

Будьте добры, скажите тогда пожалуйста как посчитать эту кинетическую энергию?

Для несжимаемой жидкости (если $\omega R_0\ll c$, $c$ - скорость звука), скорость воздуха снаружи из уравнения неразрывности $vr=v_0R_0^2$. Далее надо проинтегрировать кинетическую энергию по пространству. Получится $\rho R_0^3v_0^2$ с коэффициентом, не сильно отличающимся от единицы. Внутри сложнее, но по порядку величину будет еще примерно столько же.

-- 24.04.2013, 19:54 --

Omega в сообщении #714973 писал(а):

процесс сжатия газа в пузыре изотермический (какой он на самом-то деле и есть, по-моему)

Надо сравнить характерное время изменения радиуса $1/\omega$ и характерное время установления температуры $R_0^2/\chi$ ($\chi$ - температуропроводность, что-то в районе $0.15\,cm^2/s$). Если первое гораздо больше - процесс скорее изотермический, если второе - скорее адиабатический.

[Omega]

DimaM в сообщении #715019 писал(а):

Просто в первой формуле двойка лишняя (правильно $8\pi \sigma R_{0}^{2}$).

Поверхности ведь две и площадь каждой - $4\pi R^{2}$, остальные - $8\pi \sigma R^{2}$ - внутренняя энергия газа в пузыре. Она, по-моему, именно такая.

[DimaM]

Omega в сообщении #715027 писал(а):

остальные - $8\pi \sigma R^{2}$ - внутренняя энергия газа в пузыре. Она, по-моему, именно такая.

Не-а.
Кстати, второе условие равновесия предполагает, что давление газа внутри и снаружи одинаковое.

[Omega]

DimaM в сообщении #715035 писал(а):

Omega в сообщении #715027 писал(а):

остальные - $8\pi \sigma R^{2}$ - внутренняя энергия газа в пузыре. Она, по-моему, именно такая.

Не-а.

Это почему же? $U=\dfrac{3pV}{2}$, $\dfrac{3}{2}$ именно потому, что давление газа определяется лишь только поступательным движением его молекул.

DimaM в сообщении #715035 писал(а):

Кстати, второе условие равновесия предполагает, что давление газа внутри и снаружи одинаковое.

Почему, например, снаружи давление - $P$, внутри - $P+\dfrac{4\sigma}{R_{0}}$, следовательно разница ("давящая" внутрь) есть - $\dfrac{4\sigma}{R_{0}}$, она-таки и уравновешивается силой электростатического отталкивания ( "давящей" изнутри) .

[DimaM]

Omega в сообщении #715063 писал(а):

Это почему же? $U=\dfrac{3pV}{2}$, $\dfrac{3}{2}$ именно потому, что давление газа определяется лишь только поступательным движением его молекул.

У воздуха таки 5/2.
Причем, если процесс изотермический, внутренняя энергия идеального газа вообще не меняется.

Omega в сообщении #715063 писал(а):

Почему, например, снаружи давление - $P$, внутри - $P+\dfrac{4\sigma}{R_{0}}$, следовательно разница ("давящая" внутрь) есть - $\dfrac{4\sigma}{R_{0}}$, она-таки и уравновешивается силой электростатического отталкивания ( "давящей" изнутри) .

А лапласовское давление в таком подходе чем уравновешивается?
Кстати, здесь во внутренней энергии газа будет полное давление, а не $\dfrac{4\sigma}{R_{0}}$.