Метрический тензор

[Bulinator]

Господа, я запутался. Помогите, пожалуйста, разобраться.

Итак, имеется риманово многообразие $M$ с метрикой $g_{ik}$ ($i,k=1,2,3$). И пусть это многообразие изменяется со временем, т.е. $g_{ik}$ (на какой-то карте ) зависят не только от координат, но еще и времени $s$: $g_{ik}=g_{ik}(s,x)$.
Понятно, что при пространственных преобразованиях $g_{ik}$ меняется как трехмерный тензор.
Теперь я хочу сделать преобразование $x\to x(s',x'),\quad s\to s(s',x')$ и проследить, что происходит с величинами $g_{ik}$. И тут все запутывается. Понятно, что т.к. в новой системе многообразие будет вращаться, то у нас появится еще и дополнительное векторное поле $j$, которое будет указывать, куда переместится данная точка в следующий момент. Т.е. нужно делать преобразование от $(g,j)\to (g',j')$.

А вот дальше все запутывается.

Если следовать ОТО, то можно ввести $G_{ik}=-g_{ik}+\frac{g_{im}j^mg_{kl}j^l}{h}$, $G_{0,i}=-\frac{g_{ik}j^k}{h}$, $G_{00}=h$ и постулировать, что $G_{\mu\nu}$ преобразовывается как 4-тензор. Но, что такое $h$ в контексте вышесказанного и как к сим формулам прийти, исходя из трехмерных обозначений?

[Утундрий]

По сути, вопрос относится к продолжению topic70860.html
Какой смысл затевать новую тему?

[Munin]

3-метрика, переменная со временем, и 4-метрика - это две разные математические конструкции. Вторую можно себе представить как первую + ещё что-то. Вот это "что-то" - буковки $j$ и $h,$ не имеющие никакого особого наглядного смысла. Просто элементы формул.

[Bulinator]

Утундрий в сообщении #714724 писал(а):

Какой смысл затевать новую тему?

А в том, что

Munin в сообщении #714747 писал(а):

3-метрика, переменная со временем, и 4-метрика - это две разные математические конструкции.

Мне хотелось бы услышать умные слова.

Вот смотрите. Забудем на минуту об ОТО и рассмотрим просто СТО. Тогда преобразования затрагивающее время- это Лоренцевы бусты , которые, вообще говоря, не получаются не из чего а просто постулируюстя.

Преобразование $x'=x'(s,x)$ это, как бы изометрическое вложение нашего трехмерного пространства в какое-то 4-пространство-время. Видимо, чтобы получить ОТО, нужно взять сигнатуру метрики этого 4-пространства $(+,-,-,-)$, что и соответствует постулируемым Лоренцовским преобразованиям в СТО.
Я бред несу, или это можно умными словами сформулировать?

[Munin]

Не бред, но ошибку. Дело в том, что вы заранее думаете о 4-пространстве-времени как о метрическом римановом пространстве - на нём есть единственная функция метрики, которая и определяет его геометрию пространства-времени. А это не единственный возможный вариант. Можно построить разные геометрии. И простое "изометрическое вложение нашего трехмерного пространства в какое-то 4-пространство-время" - оно как раз, по умолчанию, вкладывает 3-пространство в 4-пространство-время другой геометрии.

Пример другой геометрии на примере СТО: пространство-время классической механики, инвариантное относительно преобразований Галилея. Оно наделено не одной функцией интервала: $|(\Delta s,\Delta x)|$ - а двумя функциями, метрикой пространства $|\Delta x|$ и метрикой времени $\Delta s.$ Причём метрика пространства определена только для точек с одинаковым моментом времени $\Delta s=0.$ Галилеевы преобразования - это такие, которые сохраняют одно и другое, и к тому же линейны: переводят прямые линии в прямые линии (такие линии при $\Delta s\ne 0$ вдоль линии называются инерциальным движением). Вот такая геометрия. Описать её как чисто метрическую - невозможно, она ведёт себя как "метрическая" в смысле, что все промежутки времени "бесконечно большие" по сравнению с любыми пространственными расстояниями (можно вспомнить нестандартный анализ). Но это - полноценная геометрия, укладывающаяся в такую конструкцию, как геометрия расслоения.

Так же и с вашей "переменной во времени 3-метрикой", она будет некоторой замысловатой геометрией с неравноправными направлениями пространства и времени, пока вы не введёте дополнительных конструкций, делающих их равноправными (это называется "3+1 decomposition / formalism (in General Relativity)").