2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 ОТО в трехмерных обозначениях
Сообщение13.04.2013, 00:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Я тут пытался расписать действие ОТО и уравнения Эйнштейна в трехмерных обозначениях, т.е. в терминах метрики трехмерного пространства с метрикой $g_{ij}$, трехмерным вектором $g^i$ и трехмерным скаляром $h$:
$$g_{ij}=-G_{ij}+\frac{G_{0i}G_{0j}}{G_{00}},\quad g^i=-G^{0i},\quad h=G_{00},\quad i,j=1,2,3$$
Тут $G_{\mu\nu}$- метрика пространства-времени.

Посмотрел в Ландафшице- там только для статического поля посчитано. Считать самому очень долго, нудно и опасно. Есть ли где-нибудь все посчитанное в этих обозначениях?

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО в трехмерных обозначениях
Сообщение13.04.2013, 01:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Bulinator в сообщении #709365 писал(а):
Посмотрел в Ландафшице- там только для статического поля посчитано.

Там же есть ссылка на Зельманова.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО в трехмерных обозначениях
Сообщение13.04.2013, 06:48 
Заслуженный участник


25/01/11
402
Урюпинск
Bulinator в сообщении #709365 писал(а):
Я тут пытался расписать действие ОТО и уравнения Эйнштейна в трехмерных обозначениях ...

Считать самому очень долго, нудно и опасно. Есть ли где-нибудь все посчитанное в этих обозначениях?

Например здесь http://arxiv.org/pdf/gr-qc/0405109v1.pdf (начиная с раздела 3.2) или здесь http://en.wikipedia.org/wiki/ADM_formalism

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО в трехмерных обозначениях
Сообщение13.04.2013, 11:56 
Аватара пользователя


14/11/12
1338
Россия, Нижний Новгород
Я вычислял это вот для такой метрики:
$$ds^2 = c^2 dt^2 - \gamma_{i j} \left( dx^i - V^i dt \right) \left( dx^j - V^j dt \right)$$
$$g^{0 0} = 1, \quad
g^{0 i} = \frac{1}{c} V^i, \quad
g^{i j} = \frac{1}{c^2} V^i V^j - \gamma^{i j}$$
$$g_{0 0} = 1 - \frac{1}{c^2} \gamma_{i j} V^i V^j, \quad
g_{0 i} = \frac{1}{c} \gamma_{i j} V^j, \quad
g_{i j} = - \gamma_{i j}$$
$$\sqrt{-g} = \sqrt{\gamma}$$

Четырёхмерная кривизна:
$$
- \frac{c^2}{2} R_4 = \frac{c^2}{2} R_3 
- \frac{3}{8} \gamma^{ij} \gamma^{kl} 
\frac{\partial \gamma_{ik}}{\partial t}
\frac{\partial \gamma_{jl}}{\partial t}
+ \frac{1}{8} \gamma^{ij} \gamma^{kl} 
\frac{\partial \gamma_{ij}}{\partial t}
\frac{\partial \gamma_{kl}}{\partial t}
$$
$$
+ \frac{1}{2} \gamma^{ij}
\frac{\partial^2 \gamma_{ij}}{\partial t^2}
+ \frac{\partial^2 V^i}{\partial t \partial x^i}
+ \gamma^{ij} V^k \frac{\partial^2 \gamma_{ij}}{\partial t \partial x^k}
$$
$$
+ V^i \frac{\partial^2 V^j}{\partial x^i \partial x^j}
+ \frac{1}{4} \frac{\partial V^i}{\partial x^j} \frac{\partial V^j}{\partial x^i}
+ \frac{1}{2} \frac{\partial V^i}{\partial x^i} \frac{\partial V^j}{\partial x^j}
$$
$$
+ \frac{1}{2} \gamma^{jk} \frac{\partial \gamma_{ij}}{\partial t}
\frac{\partial V^i}{\partial x^k}
+ \frac{1}{2} \gamma^{ij} \frac{\partial \gamma_{ij}}{\partial t}
\frac{\partial V^k}{\partial x^k}
+ \frac{1}{2} \gamma^{ij} \frac{\partial \gamma_{ij}}{\partial x^k}
\frac{\partial V^k}{\partial t}
$$
$$
+ \frac{1}{2} \gamma^{ij} V^k V^l 
\frac{\partial^2 \gamma_{ij}}{\partial x^k \partial x^l}
+ \frac{1}{2} \gamma^{jl} V^k 
\frac{\partial \gamma_{ij}}{\partial x^k}
\frac{\partial V^i}{\partial x^l}
$$
$$
+ \frac{1}{4} \gamma_{ij} \gamma^{kl}
\frac{\partial V^i}{\partial x^k}
\frac{\partial V^j}{\partial x^l}
+ \frac{1}{2} \gamma^{ij} V^k 
\frac{\partial \gamma_{ij}}{\partial x^k}
\frac{\partial V^l}{\partial x^l}
+ \frac{1}{2} \gamma^{ij} V^k 
\frac{\partial \gamma_{ij}}{\partial x^l}
\frac{\partial V^l}{\partial x^k}
$$
$$
+ \frac{1}{4} \gamma^{ij} \gamma^{kl} V^m
\frac{\partial \gamma_{ij}}{\partial x^m}
\frac{\partial \gamma_{kl}}{\partial t}
- \frac{3}{4} \gamma^{ij} \gamma^{kl} V^m
\frac{\partial \gamma_{ik}}{\partial x^m}
\frac{\partial \gamma_{jl}}{\partial t}
$$
$$
- \frac{3}{8} \gamma^{ij} \gamma^{kl} V^m V^n
\frac{\partial \gamma_{ik}}{\partial x^m}
\frac{\partial \gamma_{jl}}{\partial x^n}
+ \frac{1}{8} \gamma^{ij} \gamma^{kl} V^m V^n
\frac{\partial \gamma_{ij}}{\partial x^m}
\frac{\partial \gamma_{kl}}{\partial x^n}
$$

Используя определение инвариантной производной по времени:
$$D_t \gamma_{i j} = \partial_t \gamma_{i j} + \nabla_i V_j + \nabla_j V_i$$
(здесь $\nabla_i$ трёхмерная ковариантная производная) всё вышеизложенное громадьё схлопывается в одну строчку:
$$
- \frac{c^2}{2} R_4 =
\frac{1}{8} \left( \gamma^{ik}\gamma^{jl} - \gamma^{ij}\gamma^{kl} \right)
D_t \gamma_{ij} D_t \gamma_{kl} + \frac{c^2}{2} R_3
+ \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\gamma}}
D_t \left( \sqrt{\gamma} \, \gamma^{ij} D_t \gamma_{ij} \right),
$$
здесь $R_3$ - трёхмерная кривизна вычисленная по трёхмерной метрике $\gamma_{i j}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО в трехмерных обозначениях
Сообщение14.04.2013, 10:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
espe, SergeyGubanov, спасибо большое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group