Борьба с обилием громоздких обозначений

[Nimza]

Интересует вопрос, какими обозначениями пользуются форумчане в случае, когда приходится вводить "неоднородные" компоненты в заиндексированный массив. Классические обозначения в этих случаях получаются очень громоздкими и если приходится их использовать очень часто, то текст становится нечитаемым. Вот что я имею в виду под этим.

Обозначение $f(x_1,\ldots,x_{i-1},y,x_{i+1},\ldots,x_n)$ кажется излишне громоздким. В литературе я встречал для такого случая вариант $f(x \|_i y)$ Каково Ваше отношение к введению подобных обозначений? Не особо понятно, почему сокращения обозначений для таких случаев не становятся распространёнными и общепринятыми. Ведь мы имеем удобные обозначения для суммы, произведения, внешнего произведения и т.д., а для подмены в векторе координаты ничего нет.

[mihailm]

Подобные штуки чаще всего встречаются в доказательствах, и по-моему на первых порах полезно пользоваться именно полным покоординтным (громоздким!) расписыванием, сокращения записи могут помещать пониманию.
Хотя явно вопрос спорный, например, в линейке активно от индексов в последнее время уходят и понимание сущности вроде от этого не портится, но все таки у матана несколько иная специфика.

[Munin]

Чем плохо $f(x_{i\ne j},y)$ (при том, что неподменённая функция обозначается $f(x_i)$)? Вообще мне такое встречается настолько редко, что меня не тревожит. Можно ввести какое угодно обозначение ad hoc, всё равно совместимости между разными учебниками по такой мелочи добиваться незачем.

[g______d]

Munin в сообщении #714172 писал(а):

Чем плохо $f(x_{i\ne j},y)$ (при том, что неподменённая функция обозначается $f(x_i)$)?

Тем, что окончательно не ясно, выкидываем мы $x_i$ или $x_j$. А еще тем, что не сказано, куда именно вставляется $y$. Обозначение $f(x_i)$ вообще ужасно в математическом тексте.

Стандартным обозначением, видимо, будет $\left.f(x_1,\ldots,x_n)\right|_{x_i=y}$. Или можно еще сократить, если сказать, что $x=(x_1,\ldots,x_n)$ (но тогда лучше не $y$, а $t$).

[AGu]

Если это именно "вектор" и "координаты" (а не просто какой-то там список чего попало), то запись $(x_1,\dots,x_{i-1},y,x_{i+1},\dots,x_n)$ можно слегка сократить и без специальных обозначений: $x+(y-x_i){\bf e}_i$.

Если же речь идет о списке в общем смысле, то можно использовать обозначение $x\big|^{x_i}_y$, растущее из логики (там, где терм вместо переменной подставляют).

[arseniiv]

(А иногда подставляют вот так: $\phi[t/u]$. Правда, не помню, что на что меняется — $t$ на $u$ или $u$ на $t$.)

Вроде бы, svv (может, и не svv, искал — не нашёл) предлагал скопировать из C обозначение

$$p\mathbin?a:b \equiv \begin{cases} a, &\text{если~}p, \\ b, &\text{если~}\neg p. \end{cases}$$

С ним подобная штука записывается прозрачненько (когда оно принято и известно ) как $i\ne j \mathbin? x_i : y$. Ну или $(i\ne j) \mathbin? x_i : y$ и прочие вариации.

Скобки Айверсона

$$[p] \equiv \begin{cases} 1, &\text{если~}p, \\ 0, &\text{если~}\neg p. \end{cases}$$

которые уже достаточно известны, к сожалению, здесь будут редко применимы (нужны 0, 1, сложение…).

[vicvolf]

Любое новое обозначение надо сначала в работе вводить, а потом уже им пользоваться.

[ewert]

Munin в сообщении #714172 писал(а):

Чем плохо $f(x_{i\ne j},y)$ (при том, что неподменённая функция обозначается $f(x_i)$)?

Тем, что в первом случае выписана функция от двух переменных, во втором же -- от одной. К тому же выписана формально неграмотно: вместо функции от набора компонент получилась функция только от одной компоненты.

g______d в сообщении #714176 писал(а):

Тем, что окончательно не ясно, выкидываем мы $x_i$ или $x_j$.

А вот с этим как раз никаких проблем. В записи типа $i\neq j$ по умолчанию переменной считается $i$, т.е. предполагается, что $i$ пробегает все возможные значения, кроме $j$. То, что в данном случае эта запись всажена в совершенно неуместный контекст -- это уже вопрос другой.

AGu в сообщении #714189 писал(а):

можно использовать обозначение $x\big|^{x_i}_y$

Конечно, можно. И обозначать это будет не что иное, как приращение икса на соответствующих пределах.

В общем, из всего здесь предлагавшегося единственно разумным является это:

g______d в сообщении #714176 писал(а):

$\left.f(x_1,\ldots,x_n)\right|_{x_i=y}$

[AGu]

ewert в сообщении #714508 писал(а):

AGu в сообщении #714189 писал(а):

можно использовать обозначение $x\big|^{x_i}_y$

Конечно, можно. И обозначать это будет не что иное, как приращение икса на соответствующих пределах.

Это так, когда оно имеет смысл. У моего предложения был иной контекст:

AGu в сообщении #714189 писал(а):

Если же речь идет о списке в общем смысле, то...

ewert в сообщении #714508 писал(а):

В общем, из всего здесь предлагавшегося единственно разумным является это:

g______d в сообщении #714176 писал(а):

$\left.f(x_1,\ldots,x_n)\right|_{x_i=y}$

И обозначать это будет не что иное, как сужение функции $f(x_1,\dots,x_n)$ на $(n-1)$-мерное многообразие $\{(x_1,\dots,x_n):x_i=y\}$.

Ну а если серьезно, то, дело понятное, в отсутствии сложившейся традиции можно обозначать чо хошь как хошь, руководствуясь исключительно вкусовыми соображениями. Для статьи это дело обычное. (Для учебника — разумеется, нет.)

[g______d]

AGu в сообщении #714521 писал(а):

И обозначать это будет не что иное, как сужение функции $f(x_1,\dots,x_n)$ на $(n-1)$-мерное многообразие $\{(x_1,\dots,x_n):x_i=y\}$.

Предполагается, что мы не используем выражений вида "функция $f(x)$". Функция --- это просто $f$.

[ewert]

AGu в сообщении #714521 писал(а):

И обозначать это будет не что иное, как сужение функции $f(x_1,\dots,x_n)$ на $(n-1)$-мерное многообразие $\{(x_1,\dots,x_n):x_i=y\}$.

Может, будет, а может, и нет -- зависит от контекста. Но в любой интерпретации запись будет правильной и недвусмысленной.

AGu в сообщении #714521 писал(а):

Это так, когда оно имеет смысл. У моего предложения был иной контекст:

Если речь о анализе, то контекст роли не играет -- тут значение вертикальной чёрточки слишком жёстко застолблено.

[AGu]

ewert в сообщении #714535 писал(а):

зависит от контекста

Ну дык, и я о том же.
Короче, мы друг друга прекрасно понимаем. И это главное. (И при введении обозначений это тоже главное.)

[ewert]

g______d в сообщении #714532 писал(а):

Предполагается, что мы не используем выражений вида "функция $f(x)$". Функция --- это просто $f$.

Формально хорошо бы, но практически такое буквоедство иногда обходится настолько дорого, что от него приходится отказываться. Скажем, $\frac{\partial}{\partial x_i}\,f(x_1,\ldots,x_n)$ -- это что: сама функция или её значение?...

Вот ещё типичный пример аналогичной проблемы. Строим последовательность ортогональных многочленов и пишем что-нибудь типа: $\dfrac{(x^3,P_1(x))}{\|P_1\|^2}$. Ну нельзя так писать, нельзя! А как можно-то? Единственный формальный выход -- ввести дополнительные обозначения типа $e_k(x)\equiv x^k$ и т.д., но это до такой степени занудство, что я этого почти никогда не делаю. На лекциях, во всяком случае.

[g______d]

ewert в сообщении #714540 писал(а):

g______d в сообщении #714532 писал(а):

Предполагается, что мы не используем выражений вида "функция $f(x)$". Функция --- это просто $f$.

Формально хорошо бы, но практически такое буквоедство иногда обходится настолько дорого, что от него приходится отказываться. Скажем, $\frac{\partial}{\partial x_i}\,f(x_1,\ldots,x_n)$ -- это что: сама функция или её значение?...

Это производная по $x_i$ выражения $f(x_1,\ldots,x_n)$. Не смущает же, например, формула $\frac{\partial}{\partial x}x^2$ и тому подобное. Функция это или значение --- зависит от того, что с этим делается дальше. Кроме того, есть еще вариант $\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)(x_1,\ldots,x_n)$, в котором функция отдельно, а аргумент отдельно, но в нем есть свои сложности --- надо, чтобы $f$ изначально была от переменных $\{x_i\}$.

С многочленом, кстати говоря, в конкретном случае проблем нет, поскольку можно считать его именно формулой, а не функцией.

Но я согласен, что в чуть более сложных примерах уже удобнее писать аргумент. Вот, например, если есть функция $f$, то как обозначить функцию $x\mapsto f(x/\varepsilon)$? Любой нормальный человек напишет $f(x/\varepsilon)$, хотя "правильнее" либо предыдущий вариант, либо $f(\cdot/\varepsilon)$, либо вообще какое-нибудь $T_{\varepsilon}^*f$, где $T_{\varepsilon}$ --- то ли сжатие, то ли растяжение в $\varepsilon$ раз (в последнем случае путаница еще и с этим).

Именно с сужением я вижу проблему в том, что это "глобальная" операция над функцией в целом, поэтому запись $f(x)$ в этом контексте нежелательна.

[ewert]

g______d в сообщении #714550 писал(а):

С многочленом, кстати говоря, в конкретном случае проблем нет, поскольку можно считать его именно формулой, а не функцией.

Есть проблема: дело не в том, формула это или функция, а в том, что значок аргумента функции под знаком скалярного произведения с формальной точки зрения неуместен категорически. Это всё-таки математика, а не Матлаб. Но -- "если нельзя, но очень хочется, то можно".

g______d в сообщении #714550 писал(а):

Любой нормальный человек напишет $f(x/\varepsilon)$,

Зависит от контекста. Если он просто произносит слова типа "функция $f(x/\varepsilon)$", то это вполне уместно, хоть и жаргонно. Однако если затем потребуется производить какие-то операции над этой функцией именно как функцией, то придётся вводить дополнительные обозначения типа $f_\varepsilon(x)\equiv f(x/\varepsilon)$; что, впрочем, обычно и кстати.