Вопрос по Линейной алгебре

[Brukvalub]

Городецкий Павел писал(а):

Далее я так понимаю обе части равенства умножили (???) на \[(e_{i_1 } ,...,e_{i_p } ,e^{j_1 } ,...,e^{j_q } )\]

Похоже, что в Вашем случае используется вот такое определение тензора : http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0% ... 0.B8.D1.8F

[RIP]

Городецкий Павел писал(а):

я так понимаю обе части равенства умножили (???)

Нет. Слева и справа от знака равенства стоят функции от $(x_1,\ldots,x_p,y_1,\ldots,y_q)\in V^p\times (V^*)^q$. Просто подставляем в равенство конкретное значение $(x_1,\ldots,x_p,y_1,\ldots,y_q)=(e_{i_1},\ldots,e_{i_p},e^{j_1},\ldots,e^{j_q})$.

Городецкий Павел писал(а):

И осталось одно слагаемое, где все $\delta=1$ так да?

Да.

Добавлено спустя 2 часа 5 минут 29 секунд:

Кстати, Вы ничего не напутали с индексами? Обычно полагают

$$e^{i_1}\otimes\ldots\otimes e^{i_p}\otimes e_{j_1}\otimes\ldots\otimes e_{j_q}(e_{i'_1},\ldots,e_{i'_p},e^{j'_1},\ldots,e^{j'_q})=\delta^{i_1}_{i'_1}\cdot\ldots\cdot\delta^{i_p}_{i'_p}\cdot \delta_{j_1}^{j'_1}\cdot\ldots\cdot \delta^{j'_q}_{j_q}.$$

У функции и аргумента индексы должны быть на разных местах (ведь это элементы разных пространств).

[demon]

Да правильно. Этим выражением показывается единственность разложения тензора T_{1} по указанному базису.[/math]

Добавлено спустя 13 минут 26 секунд:

Поправка: Мой коммент сохраняется вместе с замечаниями RIP'a о коэфициентах.

[Городецкий Павел]

RIP и demon Напутал я с индексами СПАСИБО

У меня еще один вопрос:
Есть линейный оператор А тогда его матрица в базисе, составленном из собственных векторов, представляет собой диагональную матрицу, на диагонали которой стоят собственные значения.
Я не совсем понимаю какие соображения при этом надо привести. Если то что я написал неверно, то как я увидел в лекциях это верно для оператора с простым спектром, но опять же не понимаю почему.

[Lion]

То, что Вы написали, верно ТОЛЬКО для оператора с простым спекторм. Тогда утверждение следует из независимости собственных векторов. В общем же случае самый простой вид, к которому можно привести матрицу линейного оператора --- это ЖНФ.

[Городецкий Павел]

Lion писал(а):

То, что Вы написали, верно ТОЛЬКО для оператора с простым спекторм. Тогда утверждение следует из независимости собственных векторов

То есть если

\[v_1 ,...,v_n \]

собственные вектора и соответсвуют разным собственным значениям, они ЛНЗ, поэтому из них можно составить базис, то вид матрицы

\[A\]

линейного оператора находиться из соотношения

\[Av_i = \lambda _i v_i \]

. Или еще какое-то соображение требуется для обоснования

[Brukvalub]

Требуется знать алгоритм выписывания матрицы линейного оператора в базисе.

[Городецкий Павел]

Brukvalub писал(а):

ребуется знать алгоритм выписывания матрицы линейного оператора в базисе.

Вот это имеется ввиду

\[ A(v_i ) = \sum\limits_k {a_{ik} v_k } \]

?

[Brukvalub]

Городецкий Павел писал(а):

Вот это имеется ввиду

\[ A(v_i ) = \sum\limits_k {a_{ik} v_k } \]

?

Нет, имеется в виду правильное определение, в котором координаты образов базисных векторов ставятся по столбцам, а не по строкам матрицы.

[Городецкий Павел]

Спасибо. Как это все запомнить.

[Brukvalub]

Городецкий Павел писал(а):

Спасибо. Smile Как это все запомнить.

Я знаю один способ: учить в течение всего семестра в том же темпе, в котором читаются лекции (то есть разбирать материал по мере его поступление. а не за пару бессонных ночей в сессию )