Как можно решить данное уравнение по другому?

[larkova_alina]

$\sin \pi x+\cos \pi x=1$
Я решила так. Уравнение равносильно совокупности двух систем:
$\begin{bmatrix} \begin{cases} \sin \pi x \geq 0\\ \sqrt{1-\cos^2 \pi x}+\cos \pi x=1 \end{cases}\\ \begin{cases} \sin \pi x < 0\\ -\sqrt{1-\cos^2 \pi x}+\cos \pi x=1 \end{cases} \end{.} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=2k, \;\;\;\;\;\;\;\; k\in \mathbb{Z}\\ x=\frac{1}{2}+2k, \; k\in \mathbb{Z} \end{.}.$
Вопрос. Как можно решить по другому?

[gris]

$\sin \pi x+\cos \pi x=1$

$\frac1{\sqrt2}\sin \pi x+\frac1{\sqrt2}\cos \pi x=\frac1{\sqrt2}$

$\sin \frac\pi 4\cdot\sin \pi x+\cos \frac\pi 4\cdot\cos \pi x=\frac1{\sqrt2}$

[TOTAL]

larkova_alina в сообщении #713110 писал(а):

$\sin \pi x+\cos \pi x=1$
Вопрос. Как можно решить по другому?

Возведите в квадрат, запишите ответ.

[larkova_alina]

gris, спасибо!

-- 20.04.2013, 14:24 --

TOTAL, спасибо! Все очень просто, оказывается.

[gris]

После возведения в квадрат не забудьте отбросить посторонние корни.

[nnosipov]

larkova_alina в сообщении #713110 писал(а):

Вопрос. Как можно решить по другому?

Так очевидно же: в каких точках прямая $a+b=1$ пересекается с окружностью $a^2+b^2=1$?

[TOTAL]

gris в сообщении #713130 писал(а):

После возведения в квадрат не забудьте отбросить посторонние корни.

Какие корни, от возведения в квадрат не возникает вообще никаких корней.

[gris]

TOTAL, ну как, ведь левая часть может быть равна и минус единице. То есть у Вас, например, получается, что $\sin 2\pi x=0$ и $x=1$ корень, а он не корень

[TOTAL]

gris в сообщении #713145 писал(а):

TOTAL, ну как, ведь левая часть может быть равна и минус единице. То есть у Вас, например, получается, что $\sin 2\pi x=0$ и $x=1$ корень, а он не корень

После возведения в квадрат получаем уравнение $\sin\pi x \cos\pi x =0,$ которое решать не будем, поэтому вообще не получим корней. С помощью этого уравнения (и исходного) увидим, что либо $\cos\pi x =1,$ либо $\sin\pi x =1.$

[gris]

А-а-а... Это другое дело. Век живи — век учись.

[Heart-Shaped Glasses]

Зная, что $\sin (\pi x)=\cos(\frac{\pi}{2}-\pi x) $, можно таким образом выразить синус через косинус и работать с одной тригонометрической функцией. Получим:
$\cos(\frac{\pi}{2}-\pi x)+\cos (\pi x)=1$
Ну далее по формуле суммы косинусов получим прекрасную вещь, в которой всё сокращается.