2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Как можно решить данное уравнение по другому?
Сообщение20.04.2013, 12:42 
Аватара пользователя
$\sin \pi x+\cos \pi x=1$
Я решила так. Уравнение равносильно совокупности двух систем:
$\begin{bmatrix}
\begin{cases}
\sin \pi x \geq 0\\
\sqrt{1-\cos^2 \pi x}+\cos \pi x=1
\end{cases}\\
\begin{cases}
\sin \pi x < 0\\
-\sqrt{1-\cos^2 \pi x}+\cos \pi x=1
\end{cases}
\end{.} \Leftrightarrow 
\begin{bmatrix}
x=2k, \;\;\;\;\;\;\;\; k\in \mathbb{Z}\\
x=\frac{1}{2}+2k, \; k\in \mathbb{Z}
\end{.}.$
Вопрос. Как можно решить по другому?

 
 
 
 Re: Как можно решить данное уравнение по другому?
Сообщение20.04.2013, 13:04 
Аватара пользователя
$\sin \pi x+\cos \pi x=1$

$\frac1{\sqrt2}\sin \pi x+\frac1{\sqrt2}\cos \pi x=\frac1{\sqrt2}$

$\sin \frac\pi 4\cdot\sin \pi x+\cos \frac\pi 4\cdot\cos \pi x=\frac1{\sqrt2}$

 
 
 
 Re: Как можно решить данное уравнение по другому?
Сообщение20.04.2013, 13:22 
Аватара пользователя
larkova_alina в сообщении #713110 писал(а):
$\sin \pi x+\cos \pi x=1$
Вопрос. Как можно решить по другому?

Возведите в квадрат, запишите ответ.

 
 
 
 Re: Как можно решить данное уравнение по другому?
Сообщение20.04.2013, 13:23 
Аватара пользователя
gris, спасибо!

-- 20.04.2013, 14:24 --

TOTAL, спасибо! Все очень просто, оказывается.

 
 
 
 Re: Как можно решить данное уравнение по другому?
Сообщение20.04.2013, 13:49 
Аватара пользователя
После возведения в квадрат не забудьте отбросить посторонние корни.

 
 
 
 Re: Как можно решить данное уравнение по другому?
Сообщение20.04.2013, 13:53 
larkova_alina в сообщении #713110 писал(а):
Вопрос. Как можно решить по другому?
Так очевидно же: в каких точках прямая $a+b=1$ пересекается с окружностью $a^2+b^2=1$?

 
 
 
 Re: Как можно решить данное уравнение по другому?
Сообщение20.04.2013, 13:56 
Аватара пользователя
gris в сообщении #713130 писал(а):
После возведения в квадрат не забудьте отбросить посторонние корни.
Какие корни, от возведения в квадрат не возникает вообще никаких корней.

 
 
 
 Re: Как можно решить данное уравнение по другому?
Сообщение20.04.2013, 14:14 
Аватара пользователя
TOTAL, ну как, ведь левая часть может быть равна и минус единице. То есть у Вас, например, получается, что $\sin 2\pi x=0$ и $x=1$ корень, а он не корень

 
 
 
 Re: Как можно решить данное уравнение по другому?
Сообщение20.04.2013, 14:31 
Аватара пользователя
gris в сообщении #713145 писал(а):
TOTAL, ну как, ведь левая часть может быть равна и минус единице. То есть у Вас, например, получается, что $\sin 2\pi x=0$ и $x=1$ корень, а он не корень

После возведения в квадрат получаем уравнение $\sin\pi x \cos\pi x =0,$ которое решать не будем, поэтому вообще не получим корней. С помощью этого уравнения (и исходного) увидим, что либо $\cos\pi x =1,$ либо $\sin\pi x  =1.$

 
 
 
 Re: Как можно решить данное уравнение по другому?
Сообщение20.04.2013, 15:05 
Аватара пользователя
А-а-а... Это другое дело. Век живи — век учись.

 
 
 
 Re: Как можно решить данное уравнение по другому?
Сообщение20.04.2013, 15:56 
Аватара пользователя
Зная, что $\sin (\pi x)=\cos(\frac{\pi}{2}-\pi x) $, можно таким образом выразить синус через косинус и работать с одной тригонометрической функцией. Получим:
$\cos(\frac{\pi}{2}-\pi x)+\cos (\pi x)=1$
Ну далее по формуле суммы косинусов получим прекрасную вещь, в которой всё сокращается.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group