2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 банаховость пространства, проблема с доказательством
Сообщение15.04.2013, 20:51 


22/06/12
71
УГАТУ
Здравствуйте, уважаемые форумчане. Возникла трудность в решении следующей задачи:

В линейном пространстве всех многочленов $P$ введем нормы:

1) $\left\| p_1 \right\| = \max_{[a;b]} |P(t)|$

2) $\left\| p_2 \right\| = (\int\limits_ {a}^{b} |P(t)|^2 dt)^\frac{1}{2}$

Будет ли какое-либо из получившихся нормированных пространств банаховым?

С первой нормой вроде как разобрался: можно представить $P(t)$ в виде ряда Тейлора для экспоненты
$$
P_n(t) = 1+t+\frac{t^2}{2!}+...+\frac{t^n}{n!} = e^t
$$
Получаем ряд, который состоит из многочленов, но сходится не к многочлену - значит пространство с первой нормой не полно, а значит и не банахово.

А какой пример подобрать к второй норме?

 Профиль  
                  
 
 Re: банаховость пространства, проблема с доказательством
Сообщение15.04.2013, 20:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7134
А сходится ли тот ряд, что Вы написали, по второй норме?

 Профиль  
                  
 
 Re: банаховость пространства, проблема с доказательством
Сообщение15.04.2013, 22:03 


22/06/12
71
УГАТУ
мат-ламер
Нутром чую, что нет. Не пойму только, как связать этот ряд с нормой? :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: банаховость пространства, проблема с доказательством
Сообщение15.04.2013, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Если ряд сходится по первой норме, то неужели по второй не сойдется?

Кстати говоря, пространство всех многочленов не будет банаховым вообще ни по какой норме --- кажется, на форуме уже было, это простое следствие теоремы Бэра о категории.

 Профиль  
                  
 
 Re: банаховость пространства, проблема с доказательством
Сообщение16.04.2013, 07:58 


22/06/12
71
УГАТУ
g______d
я имел ввиду, что он сходится, но как бы снова не к элементу из этого пространства.
А вот про теорему Бэра я и забыл, спасибо!

Есть ли логика в следующих рассуждениях?

Банахово пространство не может быть представлено в виде счётного объединения нигде не плотных множеств. По теореме Вейерштрасса пространство многочленов всюду плотно. Тогда пространство многочленов неполно по любой метрике, а значит не является банаховым.

 Профиль  
                  
 
 Re: банаховость пространства, проблема с доказательством
Сообщение16.04.2013, 16:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
wronskian в сообщении #710881 писал(а):
я имел ввиду, что он сходится, но как бы снова не к элементу из этого пространства.


Ну так это происходит по обеим нормам одинаково.

(Оффтоп)

wronskian в сообщении #710881 писал(а):
Есть ли логика в следующих рассуждениях?

Банахово пространство не может быть представлено в виде счётного объединения нигде не плотных множеств. По теореме Вейерштрасса пространство многочленов всюду плотно. Тогда пространство многочленов неполно по любой метрике, а значит не является банаховым.


Не вижу. Теорема Вейерштрасса говорит только о том, что пространство многочленов плотно в пространстве непрерывных функций.

Я имел в виду, что всегда можно представить пространство многочленов в виде счетного объединения конечномерных подпространств, а конечномерное подпространство всегда является нигде не плотным.

Лучше все-таки добить Вашу экспоненту.

 Профиль  
                  
 
 Re: банаховость пространства, проблема с доказательством
Сообщение19.04.2013, 05:27 


22/06/12
71
УГАТУ
Всем спасибо! Добил экспоненту, тему можно закрывать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group