банаховость пространства, проблема с доказательством

[wronskian]

Здравствуйте, уважаемые форумчане. Возникла трудность в решении следующей задачи:

В линейном пространстве всех многочленов $P$ введем нормы:

1) $\left\| p_1 \right\| = \max_{[a;b]} |P(t)|$

2) $\left\| p_2 \right\| = (\int\limits_ {a}^{b} |P(t)|^2 dt)^\frac{1}{2}$

Будет ли какое-либо из получившихся нормированных пространств банаховым?

С первой нормой вроде как разобрался: можно представить $P(t)$ в виде ряда Тейлора для экспоненты

$$ P_n(t) = 1+t+\frac{t^2}{2!}+...+\frac{t^n}{n!} = e^t $$

Получаем ряд, который состоит из многочленов, но сходится не к многочлену - значит пространство с первой нормой не полно, а значит и не банахово.

А какой пример подобрать к второй норме?

[мат-ламер]

А сходится ли тот ряд, что Вы написали, по второй норме?

[wronskian]

мат-ламер
Нутром чую, что нет. Не пойму только, как связать этот ряд с нормой?

[g______d]

Если ряд сходится по первой норме, то неужели по второй не сойдется?

Кстати говоря, пространство всех многочленов не будет банаховым вообще ни по какой норме --- кажется, на форуме уже было, это простое следствие теоремы Бэра о категории.

[wronskian]

g______d
я имел ввиду, что он сходится, но как бы снова не к элементу из этого пространства.
А вот про теорему Бэра я и забыл, спасибо!

Есть ли логика в следующих рассуждениях?

Банахово пространство не может быть представлено в виде счётного объединения нигде не плотных множеств. По теореме Вейерштрасса пространство многочленов всюду плотно. Тогда пространство многочленов неполно по любой метрике, а значит не является банаховым.

[g______d]

wronskian в сообщении #710881 писал(а):

я имел ввиду, что он сходится, но как бы снова не к элементу из этого пространства.

Ну так это происходит по обеим нормам одинаково.

(Оффтоп)

wronskian в сообщении #710881 писал(а):

Есть ли логика в следующих рассуждениях?

Банахово пространство не может быть представлено в виде счётного объединения нигде не плотных множеств. По теореме Вейерштрасса пространство многочленов всюду плотно. Тогда пространство многочленов неполно по любой метрике, а значит не является банаховым.

Не вижу. Теорема Вейерштрасса говорит только о том, что пространство многочленов плотно в пространстве непрерывных функций.

Я имел в виду, что всегда можно представить пространство многочленов в виде счетного объединения конечномерных подпространств, а конечномерное подпространство всегда является нигде не плотным.

Лучше все-таки добить Вашу экспоненту.

[wronskian]

Всем спасибо! Добил экспоненту, тему можно закрывать.