Математический кретинизм существует. Доказано мною. :) Полдня пытаюсь разобраться с задачкой, уже не раз повторял все действия с самого начала, и всё никак не могу понять, где именно я ошибся.
Я понимаю, что метод Гаусса позволяет решить задачу огромным количеством способов. Если не получилось в первый раз, можно во второй раз попробовать другой путь, и рано или поздно нащупаешь дорожку к верному решению.
Но у меня есть пунктик, я люблю разбираться, на каком именно этапе я допустил ошибку. Прикольно бывает увидеть, где именно я налажал, с какого момента решение пошло по неправильному пути... И вот я столкнулся с тем, что ни в какую не могу обнаружить ошибку! Хотя точно знаю, что она есть! А-а-а!!! Я исписал уже кучу бумаги, дотошно проверяя каждую циферку, и никак не могу выловить этот баг! Мозги кипят! Выход лишь один — обратиться к коллективному разуму. Может, кто-нибудь свежим взглядом увидит, где конкретно я ошибся?..
Найти общее решение системы линейных уравнений:
Решение. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к верхней трапециевидной форме:
![\parindent=0px$\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\
-2 & 1 & 3 & -2 & -3 \\
2 & -1 & -2 & 1 & 2 \\
3 & -3 & -2 & 3 & 3 \\
\end{array}\right] \stackrel{\eqno(1)}{\longrightarrow}
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
2 & -1 & -2 & 1 & 2 \\
3 & -3 & -2 & 3 & 3 \\
\end{array}\right] \stackrel{\eqno(2)}{\longrightarrow}
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 3 & 0 & -5 & -2 \\
3 & -3 & -2 & 3 & 3 \\
\end{array}\right] \stackrel{\eqno(3)}{\longrightarrow}\\\\
\stackrel{\eqno(3)}{\longrightarrow}\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 3 & 0 & -5 & -2 \\
3 & 0 & -2 & -2 & 1 \\
\end{array}\right] \stackrel{\eqno(4)}{\longrightarrow}
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 3 & 0 & -5 & -2 \\
3 & 0 & 0 & -4 & -1 \\
\end{array}\right] \stackrel{\eqno(5)}{\longrightarrow}
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 3 & 0 & -5 & -2 \\
0 & 6 & 3 & -13 & -7 \\
\end{array}\right] \stackrel{\eqno(6)}{\longrightarrow}\\\\
\stackrel{\eqno(6)}{\longrightarrow}\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 3 & 0 & -5 & -2 \\
0 & 0 & 3 & -3 & -3 \\
\end{array}\right] \stackrel{\eqno(7)}{\longrightarrow}
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\
0 & 3 & 0 & -5 & -2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
\end{array}\right] \stackrel{\eqno(8)}{\longrightarrow}
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & -1 & -2 & 0 \\
0 & 3 & 0 & -5 & -2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
\end{array}\right]$ \parindent=0px$\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\
-2 & 1 & 3 & -2 & -3 \\
2 & -1 & -2 & 1 & 2 \\
3 & -3 & -2 & 3 & 3 \\
\end{array}\right] \stackrel{\eqno(1)}{\longrightarrow}
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
2 & -1 & -2 & 1 & 2 \\
3 & -3 & -2 & 3 & 3 \\
\end{array}\right] \stackrel{\eqno(2)}{\longrightarrow}
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 3 & 0 & -5 & -2 \\
3 & -3 & -2 & 3 & 3 \\
\end{array}\right] \stackrel{\eqno(3)}{\longrightarrow}\\\\
\stackrel{\eqno(3)}{\longrightarrow}\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 3 & 0 & -5 & -2 \\
3 & 0 & -2 & -2 & 1 \\
\end{array}\right] \stackrel{\eqno(4)}{\longrightarrow}
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 3 & 0 & -5 & -2 \\
3 & 0 & 0 & -4 & -1 \\
\end{array}\right] \stackrel{\eqno(5)}{\longrightarrow}
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 3 & 0 & -5 & -2 \\
0 & 6 & 3 & -13 & -7 \\
\end{array}\right] \stackrel{\eqno(6)}{\longrightarrow}\\\\
\stackrel{\eqno(6)}{\longrightarrow}\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 3 & 0 & -5 & -2 \\
0 & 0 & 3 & -3 & -3 \\
\end{array}\right] \stackrel{\eqno(7)}{\longrightarrow}
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\
0 & 3 & 0 & -5 & -2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
\end{array}\right] \stackrel{\eqno(8)}{\longrightarrow}
\left[\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & -1 & -2 & 0 \\
0 & 3 & 0 & -5 & -2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
\end{array}\right]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/5/885f14fb881b0fe64a102827975da02182.png)
Пояснения:

Ко второй строке прибавляем третью.

К третьей строке прибавляем первую, умноженную на

.

К четвёртой строке прибавляем третью.

К четвёртой строке прибавляем вторую, умноженную на

.

К четвёртой строке прибавляем первую, умноженную на

.

К четвёртой строке прибавляем третью, умноженную на

.

Вторая и четвёртая строки пропорциональны, поэтому удаляем четвёртую строку. Меняем местами вторую и третью строки.

К первой строке прибавляем вторую.
Получили систему уравнений, эквивалентную исходной:
Ответ: Общее решение системы уравнений:

И всё здорово, всё замечательно, вот только решение это неправильное. :) Что легко проверяется, к примеру, присваиванием свободной переменной

значения 0 и подстановкой переменных в исходное уравнение.
Я, конечно, уже догадался, что выбрал далеко не самый рациональный путь преобразования матрицы, и лучше бы с самого начала действовать по-другому. Но "нерационально" ещё не значит "неправильно". Здесь есть конкретный баг, который я почему-то не могу найти, сколько бы ни вглядывался. Это очень интригующая ситуация. Такое впечатление, как будто в моём мозгу существует некое "слепое пятно", и эта ошибка располагается аккурат там, где я не способен узреть её своим разумом. :) В связи с этим мне очень интересно, где же конкретно содержится ошибка в моём решении?..
Повторюсь, я несколько раз заново всё переписывал, тщательно анализировал каждый шаг, вознамерившись во что бы то ни стало выловить ошибку. Никакого результата! Заблудился в четырёх уравнениях.
"Географ сошел с ума совершенно неожиданно: однажды он взглянул на карту обоих полушарий и не нашел на ней Берингова пролива. Весь день старый учитель шарил по карте. Все было на месте: и Нью-Фаундленд, и Суэцкий канал, и Мадагаскар, и Сандвичевы острова с главным городом Гонолулу, и даже вулкан Попокатепетль, а Берингов пролив отсутствовал. И тут же, у карты, старик тронулся. Это был добрый сумасшедший..."Ильф и Петров, "Золотой телёнок"Крыша уже начинает сползать от этой ситуации... :) Пожалуйста, спасите мой мозг!