Решение системы уравнений методом Гаусса

[Denis Russkih]

Математический кретинизм существует. Доказано мною. :) Полдня пытаюсь разобраться с задачкой, уже не раз повторял все действия с самого начала, и всё никак не могу понять, где именно я ошибся.

Я понимаю, что метод Гаусса позволяет решить задачу огромным количеством способов. Если не получилось в первый раз, можно во второй раз попробовать другой путь, и рано или поздно нащупаешь дорожку к верному решению.

Но у меня есть пунктик, я люблю разбираться, на каком именно этапе я допустил ошибку. Прикольно бывает увидеть, где именно я налажал, с какого момента решение пошло по неправильному пути... И вот я столкнулся с тем, что ни в какую не могу обнаружить ошибку! Хотя точно знаю, что она есть! А-а-а!!! Я исписал уже кучу бумаги, дотошно проверяя каждую циферку, и никак не могу выловить этот баг! Мозги кипят! Выход лишь один — обратиться к коллективному разуму. Может, кто-нибудь свежим взглядом увидит, где конкретно я ошибся?..



Найти общее решение системы линейных уравнений:

$\left\{\begin{aligned} x_1 - 2x_2 - x_3 + 3x_4 &= 2 \\ -2x_1 + x_2 + 3x_3 - 2x_4 &= -3 \\ 2x_1 - x_2 - 2x_3 + x_4 &= 2 \\ 3x_1 - 3x_2 - 2x_3 + 3x_4 &= 3 \\ \end{aligned}\right\ $

Решение. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к верхней трапециевидной форме:

\parindent=0px$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\ -2 & 1 & 3 & -2 & -3 \\ 2 & -1 & -2 & 1 & 2 \\ 3 & -3 & -2 & 3 & 3 \\ \end{array}\right] \stackrel{\eqno(1)}{\longrightarrow} \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & -2 & 1 & 2 \\ 3 & -3 & -2 & 3 & 3 \\ \end{array}\right] \stackrel{\eqno(2)}{\longrightarrow} \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & 0 & -5 & -2 \\ 3 & -3 & -2 & 3 & 3 \\ \end{array}\right] \stackrel{\eqno(3)}{\longrightarrow}\\\\ \stackrel{\eqno(3)}{\longrightarrow}\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & 0 & -5 & -2 \\ 3 & 0 & -2 & -2 & 1 \\ \end{array}\right] \stackrel{\eqno(4)}{\longrightarrow} \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & 0 & -5 & -2 \\ 3 & 0 & 0 & -4 & -1 \\ \end{array}\right] \stackrel{\eqno(5)}{\longrightarrow} \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & 0 & -5 & -2 \\ 0 & 6 & 3 & -13 & -7 \\ \end{array}\right] \stackrel{\eqno(6)}{\longrightarrow}\\\\ \stackrel{\eqno(6)}{\longrightarrow}\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & 0 & -5 & -2 \\ 0 & 0 & 3 & -3 & -3 \\ \end{array}\right] \stackrel{\eqno(7)}{\longrightarrow} \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -2 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & -5 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ \end{array}\right] \stackrel{\eqno(8)}{\longrightarrow} \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & -5 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ \end{array}\right]$

Пояснения:
$\eqno(1)$ Ко второй строке прибавляем третью.
$\eqno(2)$ К третьей строке прибавляем первую, умноженную на $-2$.
$\eqno(3)$ К четвёртой строке прибавляем третью.
$\eqno(4)$ К четвёртой строке прибавляем вторую, умноженную на $2$.
$\eqno(5)$ К четвёртой строке прибавляем первую, умноженную на $-3$.
$\eqno(6)$ К четвёртой строке прибавляем третью, умноженную на $-2$.
$\eqno(7)$ Вторая и четвёртая строки пропорциональны, поэтому удаляем четвёртую строку. Меняем местами вторую и третью строки.
$\eqno(8)$ К первой строке прибавляем вторую.

Получили систему уравнений, эквивалентную исходной:

$\left\{\begin{aligned} x_1 + x_2 - x_3 - 2x_4 &= 0 \\ 3x_2 - 5x_4 &= -2 \\ x_3 - x_4 &= - 1 \\ \end{aligned}\right\ \Rightarrow \left\{\begin{aligned} x_3 &= x_4 - 1 \\ x_2 &= \dfrac{5}{3}x_4 - \dfrac{7}{3} \\ x_1 &= - \dfrac{5}{3}x_4 + \dfrac{7}{3} + x_4 - 1 + 2x_4 \\ \end{aligned}\right\ \Rightarrow \left\{\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{4}{3}x_4 + \dfrac{4}{3} \\ x_2 &= \dfrac{5}{3}x_4 - \dfrac{7}{3} \\ x_3 &= x_4 - 1 \\ \end{aligned}\right\ $

Ответ:
Общее решение системы уравнений: $\Bigl( \dfrac{4}{3}x_4 + \dfrac{4}{3}; \ \dfrac{5}{3}x_4 - \dfrac{7}{3}; \ x_4 - 1; \ x_4 \Bigr)$



И всё здорово, всё замечательно, вот только решение это неправильное. :) Что легко проверяется, к примеру, присваиванием свободной переменной $x_4$ значения 0 и подстановкой переменных в исходное уравнение.

Я, конечно, уже догадался, что выбрал далеко не самый рациональный путь преобразования матрицы, и лучше бы с самого начала действовать по-другому. Но "нерационально" ещё не значит "неправильно". Здесь есть конкретный баг, который я почему-то не могу найти, сколько бы ни вглядывался. Это очень интригующая ситуация. Такое впечатление, как будто в моём мозгу существует некое "слепое пятно", и эта ошибка располагается аккурат там, где я не способен узреть её своим разумом. :) В связи с этим мне очень интересно, где же конкретно содержится ошибка в моём решении?..

Повторюсь, я несколько раз заново всё переписывал, тщательно анализировал каждый шаг, вознамерившись во что бы то ни стало выловить ошибку. Никакого результата! Заблудился в четырёх уравнениях.


"Географ сошел с ума совершенно неожиданно: однажды он взглянул на карту обоих полушарий и не нашел на ней Берингова пролива. Весь день старый учитель шарил по карте. Все было на месте: и Нью-Фаундленд, и Суэцкий канал, и Мадагаскар, и Сандвичевы острова с главным городом Гонолулу, и даже вулкан Попокатепетль, а Берингов пролив отсутствовал. И тут же, у карты, старик тронулся. Это был добрый сумасшедший..."
Ильф и Петров, "Золотой телёнок"

Крыша уже начинает сползать от этой ситуации... :) Пожалуйста, спасите мой мозг!

[apriv]

Denis Russkih в сообщении #712472 писал(а):

Математический кретинизм существует. Доказано мною. :) Полдня пытаюсь разобраться с задачкой, уже не раз повторял все действия с самого начала, и всё никак не могу понять, где именно я ошибся.

$\frac{7}{3}$?

[_Ivana]

Откуда $x_2 = 5x_4/3 - 7/3$ ? Пока писал, опередили

[Denis Russkih]

И правда. О боги! Я почему-то подставил туда $x_3$ вместо $x_4$, после переноса в правую часть:

$3x_2 - 5x_4 = -2$

$3x_2 = 5x_3 - 2$

$3x_2 = 5(x_4 - 1) - 2$

$3x_2 = 5x_4 - 7$

$x_2 = \dfrac{5}{3}x_4 - \dfrac{7}{3}$

А поскольку мои мысли были сосредоточены на преобразовании матриц, то эту часть решения я проверял спустя рукава... Был уверен, что уж там-то ошибку допустить невозможно.

Огромное спасибо! Теперь всё сошлось. :)

Ну я и тупица, однако... И ведь это не первый случай, когда смотрю и в упор не вижу очевидную ошибку.

Блин, столько времени мучился с расширенной матрицей, каждую циферку изучил чуть ли не под микроскопом, а дело оказалось вообще не в ней. :) Обалдеть!

[Xaositect]

Denis Russkih в сообщении #712489 писал(а):

Блин, столько времени мучился с расширенной матрицей, каждую циферку изучил чуть ли не под микроскопом, а дело оказалось вообще не в ней. :) Обалдеть!

Надо радоваться - то, что Вы проверили, Вы сделали действительно правильно :) Осталось выработать привычку проверять совсем все.

Мне, кстати, всегда больше нравилась вариация метода Гаусса, при которой прямой и обратный ход делаются единообразно - приводим не просто к ступенчатой матрице, а к матрице вида $(E|A')$. Ну то есть в вашем случае можно продолжить
$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & -5 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ \end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -5/3 & -2/3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ \end{array}\right] \rightarrow\\ \vspace{1em}\\ \rightarrow \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -5/3 & -2/3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ \end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -4/3 & -1/3 \\ 0 & 1 & 0 & -5/3 & -2/3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ \end{array}\right] $
Может быть, Вам так тоже будет удобнее.

[Denis Russkih]

Xaositect

Действительно, так красивее и удобнее! Большое спасибо за этот способ!