Закономерность или случайность?

[TR63]

(Оффтоп)

Это попытка обобщения оригинального решения Shadow одной здешней задачи.

.
При исследовании некоторой задачи (какой? возможно, это будет ясно из контекста) возникла следующая проблема.
$Q=\{(+);(\cdot);({\div})\}$
$M=\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$
$T=\{t_n=\frac{90} {n}\}$
k-количество операций, используемых для записи $t_n$
$k=k_1+k_2+k_3$
$k_{1,2,3}$-количество сложений, умножений, делений.

Определение. Формой $F_n$ с качеством $\varphi$ назовём одну из форм:

$\{k_1;k_2;k_3\}=\{[m;(l;2m)];[m;(2m;l)];[2m;(l;m)];[2m;(m;l)]\}$,
если выполняется хотя бы одно из условий:

1). $0<l+2mm\le2$
2). $0<l+m\le2$
3). $0<m+2m\le2$.

$k_i=9p-r_1$ или $k_i=9p+r_2$
Например:
$7=1\cdot9-2$

$ 12=1\cdot9+3=2\cdot9-6$

$ 16=1\cdot9+7=2\cdot9-2$

$20=2\cdot9+2$

$ 24=2\cdot9+6=3\cdot9-3$
Вместо $m,l,k,k_i$ можно писать$r_1$ или $r_2$.
Для записи $t_n$ используются только числа, записанные с помощью одной из цифр, принадлежащих M. Например: $\{1,11,111,...\}, \{2,22,222,...\}$
Примеры форм $F_n$

$t_1=\frac{90}{1}=9\cdot9+9=88+\frac8 8+\frac8 8$
$F_1=\{[1;(1;0)],[2;(0;2)]\}$

$t_2=\frac{90}{2}=\frac{45}{1}=44+\frac4 4=22+22+\frac2 2$
$F_2=\{[1;(0;1)],[2;(0;1)]\}$

$t_3=\frac{90}{3}=30=22+2\cdot2\cdot2=5\cdot5+5$
$f_3=\{[1;(2;0)],[1;(1;0)]\}$

$t_4=\frac{90}{4}=22+{\frac{2}{2+2}}\cdot\frac2 2=22+\frac{2}{2+2}$

$F_5=\frac{90}{5}=18=\frac{9\cdot9}{9}+9=4\cdot4+\frac{4+4}{4}$
$F_5=\{[1;(1;1)],[2;(1;1)]\}$

$t_6=\frac{90}{6}=15=7+7+\frac7 7\cdot\frac7 7=7+7+\frac7 7$
$F_6=\{[2;(1;2)],[2;(0;1)]\}$

Задача. Построить форму $F_9({\varphi})$ или доказать её несуществование.

Например: $ t_9=\frac{90}{9}=10=9+\frac9 9=5+5\cdot\frac5 5\cdot\frac5 5$
$F_9=\{[1;(0;1)],[1;(2;2)]\}$

$F_9 \neq F_9({\varphi})$, $F_9({\varphi})=?$

[TR63]

Для того, чтобы построить топологическую схему задачи (разделённую на смежные классы), надо ввести дополнительное условие, а именно: $0<k\le{n-1}$.
Тогда все формы $F_n$ для $n$, соответствующих номерам правильных многоугольников, построимых с помощью циркуля и линейки, будут иметь качество $\varphi$. В этом можно убедиться самостоятельно (достаточно знаний арифметики в объёме начальной школы).
А, вот, дальше у меня ничего не получается. Спрашивается: это закономерность или случайность? (совпадение с решением Гаусса). Если закономерность, то будем иметь новый признак построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки.
(Эта задача- ещё один шаг на пути к новой теории разрешимости уравнений в радикалах, новой (правильной) теории устойчивости и, возможно, к модернизированной теории устойчивости (я подразумеваю под этим роль семёрки)).
Если кому-нибудь удастся построить контрпример (в чём я очень сомневаюсь) то надо будет искать другую причину ошибочности существующей теории устойчивости.

[fizmatovets]

Я извиняюсь, но причем там $\varphi$?

[TR63]

fizmatovets в сообщении #714880 писал(а):

Я извиняюсь, но причем там ?

fizmatovets,
если Вы не смогли решить предложенную задачу, а именно:

TR63 в сообщении #708658 писал(а):

Задача. Построить форму $F_9({\varphi})$ или доказать её несуществование.

то очень даже причём. (Что такое $\varphi$?, смотрите определение).
Если смогли, то выкладывайте решение.
Если задача сформулирована не очень понятно, задавайте вопрос более конкретно: где именно, что именно.

[fizmatovets]

TR63,
я просто думаю что произойдет если вдруг $\varphi$ куда-то убрать, а то оно используется только в названии, а в определении нет.

[TR63]

TR63 в сообщении #708658 писал(а):

Определение. Формой $F_n$ с качеством $\varphi$ назовём одну из форм:

$\{k_1;k_2;k_3\}=\{[m;(l;2m)];[m;(2m;l)];[2m;(l;m)];[2m;(m;l)]\}$

fizmatovets,
качество $\varphi$ зашито ещё и в структуре заданной формы. Посмотрите внимательнее на её устройство. (Три числа берутся не произвольным образом, а согласно указанному качеству.)

-- 26.04.2013, 14:28 --

TR63 в сообщении #708658 писал(а):

(Оффтоп)

Это попытка обобщения оригинального решения Shadow одной здешней задачи.

.
При исследовании некоторой задачи (какой? возможно, это будет ясно из контекста) возникла следующая проблема.
$Q=\{(+);(\cdot);({\div})\}$
$M=\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$
$T=\{t_n=\frac{90} {n}\}$
k-количество операций, используемых для записи $t_n$
$k=k_1+k_2+k_3$
$k_{1,2,3}$-количество сложений, умножений, делений.

Определение. Формой $F_n$ с качеством $\varphi$ назовём одну из форм:

$\{k_1;k_2;k_3\}=\{[m;(l;2m)];[m;(2m;l)];[2m;(l;m)];[2m;(m;l)]\}$,
если выполняется хотя бы одно из условий:

1). $0<l+2mm\le2$
2). $0<l+m\le2$
3). $0<m+2m\le2$.

$k_i=9p-r_1$ или $k_i=9p+r_2$
Например:
$7=1\cdot9-2$

$ 12=1\cdot9+3=2\cdot9-6$

$ 16=1\cdot9+7=2\cdot9-2$

$20=2\cdot9+2$

$ 24=2\cdot9+6=3\cdot9-3$
Вместо $m,l,k,k_i$ можно писать$r_1$ или $r_2$.
Для записи $t_n$ используются только числа, записанные с помощью одной из цифр, принадлежащих M. Например: $\{1,11,111,...\}, \{2,22,222,...\}$
Примеры форм $F_n$

$t_1=\frac{90}{1}=9\cdot9+9=88+\frac8 8+\frac8 8$
$F_1=\{[1;(1;0)],[2;(0;2)]\}$

$t_2=\frac{90}{2}=\frac{45}{1}=44+\frac4 4=22+22+\frac2 2$
$F_2=\{[1;(0;1)],[2;(0;1)]\}$

$t_3=\frac{90}{3}=30=22+2\cdot2\cdot2=5\cdot5+5$
$F_3=\{[1;(2;0)],[1;(1;0)]\}$

$t_4=\frac{90}{4}=22+{\frac{2}{2+2}}\cdot\frac2 2=22+\frac{2}{2+2}$ $F_4=\{[1;(1;2)];[2;(0;1)]\}

$t_5=\frac{90}{5}=18=\frac{9\cdot9}{9}+9=4\cdot4+\frac{4+4}{4}$
$F_5=\{[1;(1;1)],[2;(1;1)]\}$

$t_6=\frac{90}{6}=15=7+7+\frac7 7\cdot\frac7 7=7+7+\frac7 7$
$F_6=\{[2;(1;2)],[2;(0;1)]\}$

Задача. Построить форму $F_9({\varphi})$ или доказать её несуществование.

Например: $ t_9=\frac{90}{9}=10=9+\frac9 9=5+5\cdot\frac5 5\cdot\frac5 5$
$F_9=\{[1;(0;1)],[1;(2;2)]\}$

$F_9 \neq F_9({\varphi})$, $F_9({\varphi})=?$

[TR63]

TR63 в сообщении #711517 писал(а):

(Эта задача- ещё один шаг на пути к новой теории разрешимости уравнений в радикалах, новой (правильной) теории устойчивости и, возможно, к модернизированной теории устойчивости (я подразумеваю под этим роль семёрки)).Если кому-нибудь удастся построить контрпример (в чём я очень сомневаюсь) то надо будет искать другую причину ошибочности существующей теории устойчивости.

Это следует заменить на

TR63 в сообщении #711517 писал(а):

Возможно, эта задача- ещё один шаг на пути к новой теории разрешимости уравнений в радикалах.

,

поскольку я, наконец-то, разобралась с "контрпримером" к теореме Гурвица с помощью Форума. Неясный вопрос ещё остался, но это другая тема.

[TR63]

TR63 в сообщении #723586 писал(а):

разобралась с "контрпримером" к теореме Гурвица с помощью Форума.

,

Не заметила своей арифметической ошибки. Из-за этого не исследовала ещё две оставшиеся области. В результате получилось ошибочное утверждение, но, как показало дальнейшее расследование, не ошибочность используемого метода (?)(требуется проверка специалистов; это будет другая тема). Область устойчивости, полученная моим методом (без использования определителей; позволяющего для уравнений в районе десятой степени определённого вида находить область неустойчивости полуустно), для двухосного гироскопического стабилизатора совпала с полученной при использовании теоремы Гурвица. Этим косвенно подтверждается мой метод, т.е. использование моей гипотезы "о построении правдоподобных гипотез". Она, гипотеза, была использована при конструировании задачи, сформулированной в начальном посте. Поскольку эта задача является аналогией задачи "о построении правильных мгогоугольников", то интересно было бы увидеть её решение (стандартное).
У меня ещё остался неясный вопрос по корректности самого доказательства теоремы Гурвица (на стр. 26; это (примерно; похоже) о возможности интегрирования неравенства на бесконечном промежутке; я не знаю, чем такое обосновывается; на конечном- понятно; на любом конечном-?; на бесконечном-?).