интеграл от exp и erfc

[ИСН]

ИСН в сообщении #711217 писал(а):

Какая переменная исчезла после первого интегрирования? t или x? У Вас после этого места почему-то они обе фигурируют.

[salang]

первым был взят интеграл по t. Результат интегрирования:

$$\int_{0}^\infty \exp(-t^2) dt=\sqrt{\pi}/2$$

[ИСН]

Допустим. И что осталось от всего выражения?

[salang]

$2/\sqrt{\pi}\int_{bx+c}^\infty \sqrt{\pi}/2\exp(-ax)dx$

[ИСН]

Вас не настораживает, что переменная интегрирования - x, и нижний предел выражен тоже через x? Откуда начинать-то? С какого x?

[salang]

так в этом и есть вся проблема .
Это из-за того, что интегральное представление erfс имеет пределы от х до бесконечности, а сам интеграл берется по t.

[ИСН]

Но с этими фактами Вы ничего поделать не можете: таково определение функции erfc. Ну то есть можете заменить t на какую-нибудь другую букву, но результат будет тот же самый, я гарантирую это.
Что будем делать?

[salang]

ИСН в сообщении #711274 писал(а):

Ну то есть можете заменить t на какую-нибудь другую букву, но результат будет тот же самый, я гарантирую это

я даже нисколько не сомневаюсь

ИСН в сообщении #711274 писал(а):

Что будем делать?

может есть какой-то другой способ получить интеграл

$$\int_{0}^{\infty}\exp(-ax)erfc(bx+c) dx$$

?

[ИСН]

Есть, конечно, даже два. С одного Вы начали: взять железкой. Второй - по частям. Но я-то надеялся, что эта загадка побудит Вас разобраться, как на самом деле переставляют порядок в кратных интегралах, и что при этом происходит с пределами...

[salang]

по частям я тоже взял, но результат немного отличается от полученного программой:
$1/a(\exp(a(4bc+a)/4b^2)erfс(a/2b+c)-erfc(c))$.
Разница в одном знаке и в том, что экcпонента умножается на erfc, а не на erf

[ИСН]

Ну дак между erf и erfc как раз и есть разница в знаке. Правда, не только - там ещё единица. Но наверное, она тоже куда-нибудь магически девается.
Или Вы результат в обоих вариантах нашли численно, и они разные?

[salang]

ИСН в сообщении #711308 писал(а):

Или Вы результат в обоих вариантах нашли численно, и они разные?

график Mathcad строит только для выражения $1/a(\exp(a(4bc-a)/4b^2)erf(a/2b+c)+erfc(c))$, а оно отличается из от результата по частям и от результата Mathematica. Со всеми остальными вариантами сообщает об ошибке. Отличие состоит в числителе экспоненты: 4bc-a вместо расчетного выражения 4bc+a

[ИСН]

Вы это выражение нашли по тому принципу, что Mathcad для него строит график? А почему бы тогда не остановиться на простых формах: $\sin x,\;\arctg y$... - уж их-то он точно строит.
Правильное выражение - это то, что даёт Mathematica, если не ошибаться при подстановке пределов. Или Ваше "по частям", если не ошибаться в знаке и тоже, по-видимому, в подстановке пределов.

(Короче...)

$${1\over a}\left(\mathrm{erfc}(c)-e^{a(4bc+a)\over4b^2}\mathrm{erfc}\big({a\over2b}+c\big)\right)$$

[salang]

ИСН в сообщении #711411 писал(а):

Вы это выражение нашли по тому принципу, что Mathcad для него строит график?

нет, случайно ошибся при наборе и все получилось

ИСН в сообщении #711411 писал(а):

Правильное выражение - это то, что даёт Mathematica, если не ошибаться при подстановке пределов

для неопределенного интеграла она выдает такое выражение:

$${-1\over a}\exp(-ax)\left(\mathrm{erfc}(bx+c)+e^{a(a+4b(bx+c))\over4b^2}\mathrm{erf}\big({a\over2b}+bx+c\big)\right)$$

после подстановки пределов от нуля до бесконечности вроде должна получаться сумма в скобках, а не разность

[ИСН]

Что у Вас получается из всего этого выражения, если подставить бесконечность. Да. Что?