Задачка с лагранжианом

[ИгорЪ]

Мотивировка задачки простая, поскольку лагранжиан свободной частицы - длина (ну почти), то добавляем к ней площадь (почти), такое вот баловство:
$L=\dot x^2+\dot y^2 +\dot x y - \dot y x$
Пишем УД, немного изгаляемся и вдруг получаем два осцилляторных уравнения
$\ddot x+x=C_1, \ddot y+y=C_2$
Как известно, осцилляторы под действием постоянной внешней силы лишь меняют точку положения равновесия.
Таким образом наша система описывается лагранжианом двух осцилляторов! $L=\dot x^2+\dot y^2 -x^2-y^2$

Вопросы таковы
1) Можно ли и как доказать эквивалентность этих лагранжианов? (Отличие на полную пр-ую я не нашел)
2) Почему добавка площади дает такой эффект? (Вот думаю с объемом помудрить?)

[Утундрий]

ИгорЪ в сообщении #710053 писал(а):

Можно ли и как доказать эквивалентность этих лагранжианов?

Вряд ли. Они не эквивалентны. У первого центр вращения может быть где угодно, а у второго - только в начале координат. Это всё потому, что $\dot x^2 + \dot y^2 = const$ и $x^2 + y^2 = const$ хотя и приводят к похожему результату, однако всё же несколько разные вещи. Впрочем, первый можно свести ко второму, если добавить к нему две связи $\dot x + y = \dot y - x = 0$.

[ИгорЪ]

Утундрий в сообщении #710080 писал(а):

Вряд ли. Они не эквивалентны.

Ну а если второй лагранжиан уточнить
$L=\dot x^2+\dot y^2 -x^2-y^2+C_1x+C_2y$
как тогда с эквивалентностью? Его сдвигом переменных легко превратить в обычный осциллятор.

[Утундрий]

ИгорЪ
Здесь не принципиально, что в нуле. Важно, что только в нуле. Ну переместили выделенный центр в какое-то новое прекрасное место, но однозначтости-то не нарушили.

[ИгорЪ]

Ну т.е. двух-параметрическое семейство лагранжианов и один лагранжиан сравнивать тяжело. Вопрос об эквивалентности как то надо переформулировать. Как площадь выводит свободную частицу в множество осцилляторов со всевозможными точками равновесия? Тайна веков. Еще забавный факт обнаружил
$L= \dot x y - \dot y x+ x^2+ y^2$ тоже дает осциллятор .

[Munin]

Вы всё не понимаете. У одного лагранжиана не одно движение по окружности, а много разных - в зависимости от начальных условий. Можно считать, что здесь "спонтанное нарушение симметрии": лагранжиан допускает движение вокруг любого центра, а реализуется - вокруг какого-то одного.

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #710646 писал(а):

У одного лагранжиана не одно движение по окружности, а много разных - в зависимости от начальных условий. Можно считать, что здесь "спонтанное нарушение симметрии": лагранжиан допускает движение вокруг любого центра, а реализуется - вокруг какого-то одного.

Про какой конкретно лагранжиан это написано?

[Bulinator]

ИгорЪ в сообщении #710053 писал(а):

Почему добавка площади дает такой эффект? (Вот думаю с объемом помудрить?)

Это не полщадь, а постоянное магнитное поле.
В таком виде две вистемы имеют разные симметрии. Лагранжиан с площадью магнитным полем обладает, наприем, калибровочной симметрией, которую не имеет лагранжиан осциллятора.

-- Пн апр 15, 2013 22:04:21 --

С другой стороны(не знаю насколько это вам пригодится) понятно, что на поверхности уровня $L_z=\operatorname{const}, H=\operatorname{const}$ две системы эквивалентны с точностью до канонических преобразований. В этом можно убедиться записав уравнения и Гамильтонианы обеих систем в переменных действие-угол.

[ИгорЪ]

Bulinator
На уровни Ландау намекаете?

[Bulinator]

ИгорЪ в сообщении #710234 писал(а):

Ну а если второй лагранжиан уточнить
$L=\dot x^2+\dot y^2 -x^2-y^2+C_1x+C_2y$
как тогда с эквивалентностью?

В системе с магнитным полем, коэффициенты $C_1, C_2$ однозначно определяются граничными условиями, тогда как в осцилляторе, это независимые параметры.

ИгорЪ в сообщении #710803 писал(а):

Bulinator
На уровни Ландау намекаете?

Т.к. в переменных действие угол обе системы имеют одинаковый вид (просто $H=I+\operatorname{const}$), то и согласно Бору-Зоммерфельду у них и спектр будет похожий. Но, когда писал, я об это не думал.

[ИгорЪ]

Bulinator С магнитным полем ваша догадка в точку, (утром )этот лагранжиан
$L=\dot x^2+\dot y^2 +\dot x y - \dot y x$
был запоздало опознан просто как заряженная частица на плоскости в постоянном магнитном поле.
Магнитное поле = площадь, охренеть, или физикам это не в диковинку?

[espe]

ИгорЪ в сообщении #710530 писал(а):

$L= \dot x y - \dot y x+ x^2+ y^2$ тоже дает осциллятор .

Это действие для осциллятора в гамильтоновой форме.

-- Вт апр 16, 2013 10:29:14 --

Для $F_{\mu\nu}=\operatorname{const}$ потенциал можно записать в виде $A_\mu=\frac{1}{2}F_{\nu\mu}x^\nu$. Подствляете в лагранжиан и получаете "площадь".

[ИгорЪ]

espe в сообщении #710905 писал(а):

Это действие для осциллятора в гамильтоновой форме.

Что то это у меня не получается.

А с площадью очень классно. Не знаете "объемного" обобщения?

[Bulinator]

Любое выражение типа $a_{ik}(x)\dot{x}^i\dot{x}^k+b_i(x) \dot{x}^i$ может рассматриваться как лагранжиан частицы в магнитном поле в криволинейных координатах.

[espe]

ИгорЪ в сообщении #710944 писал(а):

Что то это у меня не получается.

Действие в гамильтоновой форме -- это действие в виде $S=\int(p\dot{q}-H(q,p))dt$. Берём один 1-мерный осциллятор с гамильтонианом $H=\frac{1}{2}(p^2+q^2)$, подставляем в действие, делаем там замену переменных $q\to\sqrt{2}x$, $p\to\sqrt{2}y$ и с точностью до интегрирования по частям получаем $L= \dot x y - \dot y x+ x^2+ y^2$

ИгорЪ в сообщении #710944 писал(а):

Не знаете "объемного" обобщения?

Наверно+примерно так.
Во- первых, интегрирование должно быть не по линии а по 2-мерной поверхности, следовательно должна быть струна, а не частица.
Во-вторых, вместо векторного потенциала должен быть потенциал в виде антисимметричного тензора второго ранга $B_{\mu\nu}$, чья напряжённость $F_{\mu\nu\sigma}=\partial_\mu B_{\nu\sigma}+\partial_\nu B_{\sigma\mu}+\partial_\sigma B_{\mu\nu}=\operatorname{const}$. В этом случае потенциал можно записать в виде $B_{\mu\nu}=\frac{1}{3}F_{\mu\nu\sigma}x^\sigma.$
Теперь нужно записать действие. Раз струны, то ищем в соответствующих книгах. Берем, например, Грин+Шварц+Виттен, смотрим формулу (3.4.45)

$$S\propto\int d\sigma^2\varepsilon^{\alpha\beta}\partial_\alpha x^\mu\partial_\beta x^\nu B_{\mu\nu},$$

подставляем наш потенциал и получаем "объём".
Наверно+примерно так $\Box$