Вычислить предел

[Sinoid]

Provincialka, вы что, не видите простую вещь? Разбиваете предел на разность пределов (на эту операцию нет ограничений), в первом пределе заменяете числитель эквивалетной величиной, а затем обратно соединяете пределы в один. А вот Armez в последнем сообщении точно допустил ошибку: как можно было вынести $\frac{1}{x^2}$ за знак предела?

[Shtorm]

provincialka в сообщении #710612 писал(а):

Sinoid в сообщении #710590 писал(а):

Shtorm, вы правы, но от этого задача только упрощается. При $x\to0$ $\ln(1+x)\thicksimx$ и $x$-бесконечно малые, и, кроме того, они эквивалентны, а значит, $\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}=\lim\limits_{x\to0}\left({\frac{x}{x^2}-\frac{x}{x^2}}\right)=0$.

Это грубейшая ошибка: нельзя заменять на эквивалентные в сумме(разности). И ответ неправильный.

Да, ошибка и ответ неправильный. Однако, такой же ошибочный ответ мы получим, если не будем переходить к эквивалентным бесконечно малым, а воспользуемся 2-ым замечательным пределом. В связи с чем возникает вопрос о границе применимости перехода ко 2-ому замечательному пределу. А точнее о границе применимости свойства степени логарифма: то что, коэффициент $\frac{1}{x^2}$ стоящий перед логарифмом нельзя перенести в степень логарифма. Вопрос к спецам, почему?

provincialka, а вот Вы говорите, что нельзя заменять на эквивалентные в сумме (разности). Рассмотрим пример

$$\lim\limits_{x\to0}{\frac{\sin x-x^2}{x}}=\lim\limits_{x\to0}{\frac{x-x^2}{x}}=1$$

Укажите тогда точнее, где нельзя применять и почему нельзя применять, а также в каких книгах описано указанное свойство.

[armez]

provincialka, такая замена в данном случае ведёт к более громоздким выкладкам.

О "бесконечном" не говорил, говорил о растущем, но их сумма допускает оценку сверху, равномерную по х (по крайней мере, при |x|<1).

Конечно же, все замечания касались предела

$$\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2}\ln \left( (1+x)e^{-x} \right)$$

-- 15.04.2013, 19:01 --

Shtorm в сообщении #710674 писал(а):

Укажите тогда точнее, где нельзя применять и почему нельзя применять, а также в каких книгах описано указанное свойство.

Достаточно вспомнить точное определение понятия эквивалентности, а оно есть почти в каждом учебнике.

Замечание provincialka совершенно верно, и в рассуждениях Sinoid действительно содержатся грубые ошибки.

Цитата:

Однако, такой же ошибочный ответ мы получим, если не будем переходить к эквивалентным бесконечно малым, а воспользуемся 2-ым замечательным пределом.

Если непосредственно использовать второй замечательный предел, то получится неопределённость, которую Sinoid игнорирует:

Цитата:

Разбиваете предел на разность пределов (на эту операцию нет ограничений)

-- 15.04.2013, 19:04 --

Sinoid в сообщении #710672 писал(а):

Provincialka, вы что, не видите простую вещь?

Sinoid, предлагаю не поднимать вопрос о том, кто не видит простых вещей.

[provincialka]

Sinoid в сообщении #710672 писал(а):

Provincialka, вы что, не видите простую вещь? Разбиваете предел на разность пределов (на эту операцию нет ограничений), в первом пределе заменяете числитель эквивалетной величиной, а затем обратно соединяете пределы в один. А вот Armez в последнем сообщении точно допустил ошибку: как можно было вынести $\frac{1}{x^2}$ за знак предела?

Двойка вам за споры с преподом!
После такого разбиения вы получите разность $\infty-\infty$, то есть неопределенность. Две таких разности не равны друг другу. И ответ неверный.

А amrez действительно выносил? Не заметила...

[armez]

provincialka в сообщении #710701 писал(а):

А amrez действительно выносил? Не заметила...

Даже я не заметил, хотя сам же и вынес...

[provincialka]

Shtorm в сообщении #710674 писал(а):

provincialka в сообщении #710612 писал(а):

Да, ошибка и ответ неправильный. Однако, такой же ошибочный ответ мы получим, если не будем переходить к эквивалентным бесконечно малым, а воспользуемся 2-ым замечательным пределом. В связи с чем возникает вопрос о границе применимости перехода ко 2-ому замечательному пределу. А точнее о границе применимости свойства степени логарифма: то что, коэффициент $\frac{1}{x^2}$ стоящий перед логарифмом нельзя перенести в степень логарифма. Вопрос к спецам, почему?

provincialka, а вот Вы говорите, что нельзя заменять на эквивалентные в сумме (разности). Рассмотрим пример

[math]$$\lim\limits_{x\to0}{\frac{\sin x-x^2}{x}}=\lim\limits_{x\to0}{\frac{x-x^2}{x}}=1$$[/math ]

Укажите тогда точнее, где нельзя применять и почему нельзя применять, а также в каких книгах описано указанное свойство.

Нельзя применятьто, что не доказано. Замена сомножителя/делителя на эквивалентные строго доказана. А для слагаемого доказательства нет. И, наоборот, есть контрпримеры.

Конечно, в некоторых случаях ответ получится верный. Но недоказанный! Такой результат бесполезен. Для доказательства того, что замена возможна используют,например, о-малое.

-- 15.04.2013, 20:46 --

amrez, переход к $y$ не дает усложнения, если сразу заменить в знаменателе на эквивалентную, т.е. на $y^2$.

Вопрос в другом. Зачем все это? Вот, вы уже дошли до равномерной сходимости, вместо того, чтобы просто взять производную.

Получается какое-то ненужное усложнение, "игра на скрипке на одной струне".

Дело в том, что исходная задача равносильнатому, чтобы найти многочлен Тейлора 2-ой степени.

[armez]

provincialka в сообщении #710710 писал(а):

вы уже дошли до равномерной сходимости

О равномерной сходимости не было ни слова.

Цитата:

...просто взять производную. Получается какое-то ненужное усложнение, "игра на скрипке на одной струне".

Это недопустимо по условию задачи.

Цитата:

переход к $y$ не дает усложнения

Наши мнения не обязаны совпадать.

Цитата:

исходная задача равносильна тому, чтобы найти многочлен Тейлора 2-ой степени

Да.

[provincialka]

Действительно, о равномерной сходимости не нашла. Померещилось, что ли? Или там была равномерная ограниченность? В общем, надо же как-то разбираться с двойным пределом.

Что-то я потеряла интерес к задаче... изящных решений не видно, а странные оценки, "свалившиеся с неба", не доказаны...

[armez]

provincialka в сообщении #710766 писал(а):

Что-то я потеряла интерес к задаче...

Спасибо за участие в дискуссии.

[Sinoid]

Еще раз детально пишу $\lim\limits_{x\to0}\frac{ln(1+x)-x}{x^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac{ln(1+x)}{x^2}-\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{x^2}$, т.к. доказана формула предела суммы. Далее, provincialka признает возмножность замены множителя/делителя эквивалентным числом.Числа $ln(1+x)$ и $x$ эквивалентны. Почему тогда я не могу записать так: $\lim\limits_{x\to0}\frac{ln(1+x)}{x^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{x^2}$, а из этого почему я не могу заключить, что $\lim\limits_{x\to0}\frac{ln(1+x)}{x^2}-\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{x^2}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{x^2}-\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{x^2}$, ведь я просто из обоих частей верного равенства вычел одно и тоже число. И, наконец, ввиду опять-таки доказанности формулы предела суммы написать, что\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{x^2}-\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{x^2}=\lim\limits_{x\to0}\left({\frac{x}{x^2}-\frac{x}{x^2}}\right)=\lim\limits_{x\to0}0=0$? Почему я не могу так рассуждать? Тут не нужны ограничения с делителем, тут можно даже обойтись без сокращений дробей! И на упомянутой формуле предела суммы нет никаких ограничений. Укажите, пожалуйста, конкретно место ошибки.

[armez]

Sinoid, повторите формулировку теоремы о пределе суммы.

[Shadow]

эквивалентны не значит равны. $\ln(1+x)<x$. И просто так взять и поменять $\ln(x+1) \text { на } x$ (а почему бы не на $\sin x$) нельзя. Вы понимаете ли, что такими рассуждениями получите, что и $\lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)-x}{x^{100}}=0$ ?

[provincialka]

sinoid, все арифметические свойства предела доказываются в предположении, что полученная комбинация чисел имеет смысл. Теоремы не доказаны, если приводят к неопределенности. Именно в этом смысл названия "неопределенность".

Предел разности равен разности пределов за исключением того случая, когда каждый операнд стремится к $\infty$. В последнем случае предел может быть любым.

Вместо разности можно рассматривать и сумму, если слагаемые стремятся к бесконечностям разного (или неопределенного) знака.

[Sinoid]

Я понял свою ошибку: я не могу применить формулу суммы пределов, потому что не существует пределов у слагаемых и в числителе нельзя заменить эквивалентными числами, потому что такая замена возможна только для числителя и(или) знаменателя целиком. Так?

[provincialka]

Sinoid в сообщении #710816 писал(а):

Я понял свою ошибку: я не могу применить формулу суммы пределов, потому что не существует пределов у слагаемых и в числителе нельзя заменить эквивалентными числами, потому что такая замена возможна только для числителя и(или) знаменателя целиком. Так?

Почти так. В некоторых случаях можно сделать вывод о пределе, даже если предел какого-нибудь оперенда не существует. Например, $2 +\infty =\infty , 1/\infty =0$. А иногда, наоборот, пределы операндов существуют, $0/0=?$.

Есть всего 4 случая, когда предел арифметической операции не определен:
$\frac {0}{0};\frac{\infty}{\infty};\infty\cdot 0; \infty-\infty$