Вычислить предел

[armez]

Как вычислить предел

$$\lim_{x \to 0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2},$$

не пользуясь правилом Лопиталя?

[SpBTimes]

А Тейлор известен?

[armez]

Нет.

-- 12.04.2013, 22:38 --

... и "Лагранж" тоже, и что такое производная - неизвестно.

[spyphy]

а что такое предел известно? (по определению может..)

[armez]

Что такое предел - известно (в том числе, вычислены замечательные и т.п., так что по определению - не обязательно), а что такое производная - нет.

[Shtorm]

armez, а вычисление пределов через замену на эквивалентные бесконечно малые величины проходили?

[Limit79]

$\ln(1+x) \sim ...$ при $x \to 0$, например.

[Heart-Shaped Glasses]

armez в сообщении #709335 писал(а):

Нет.

-- 12.04.2013, 22:38 --

... и "Лагранж" тоже, и что такое производная - неизвестно.

(Оффтоп)

У нас на матпраке в 10 классе сейчас такая же проблема - решаем пределы, а производную, Лопиталя и ряд Тейлора ещё не проходили. Приходится выкручиваться.)

Может быть, можно попробовать это как-то свести ко Второму замечательному пределу?
Например, разложить на разность пределов, потом внести степень под знак логарифма?

[Shtorm]

Limit79, ну, а Вы до конца дорешали предложенным способом?

-- Вс апр 14, 2013 00:55:17 --

Heart-Shaped Glasses, а Вы до конца дорешали предложенным Вами способом?

[Limit79]

Shtorm
Значит таки использовать разложения логарифма в ряд.

[Heart-Shaped Glasses]

Shtorm в сообщении #709820 писал(а):

-- Вс апр 14, 2013 00:55:17 --

Heart-Shaped Glasses, а Вы до конца дорешали предложенным Вами способом?

Я ещё не дорешал, нахожусь в процессе. Если дорешаю, разрешено ли будет выложить сюда решение? Просто, насколько я понял правила и цель этого раздела, здесь стоит натолкнуть автора темы на ход решения, а не выкладывать готовые решения и ответы. Поэтому у меня возникли сомнения.

[Shtorm]

Heart-Shaped Glasses, не выкладывайте ни в коем случае. По крайней мере пока сам автор темы не выложит своё правильное или окончательно не запутается. Просто скажите Ваш ответ совпал с графиком или с Maple?

[armez]

Limit79 в сообщении #709816 писал(а):

$\ln(1+x) \sim ...$ при $x \to 0$, например.

Я уже писал, что замечательные пределы вычислены, следовательно, предел

$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} =1$$

тоже можно считать вычисленным, а значит, можно считать известным, что $\ln(1+x) \sim x$ при $x \to 0.$ В то же время, не доказано, что при $x \to 0$

$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2}+o(x^2),$$

хотя этого было бы достаточно. Второй замечательный предел, фактически, даёт первый член этого асимптотического разложения, в то время как вычисление данного предела означает нахождение его второго члена. Полное решение выкладывать не нужно, достаточно сформулировать идею, позволяющую это сделать в данном конкретном случае, не доказывая неявным образом правило Лопиталя в полном объёме.

[Null]

$\ln(1+x)$ надо оценить хорошо. Например $\frac{x}{2+2x}+\frac{x}{2}>\ln(1+x)>\frac{2x}{2+x}$. Только эти оценки еще доказать нужно, а это долго.

[armez]

Null в сообщении #709859 писал(а):

$\ln(1+x)$ надо оценить хорошо. Например $\frac{x}{2+2x}+\frac{x}{2}>\ln(1+x)>\frac{2x}{2+x}$. Только эти оценки еще доказать нужно, а это долго.

Да, не очень радужная перспектива. Но все равно спасибо. Конечно, хотелось бы обойтись без слишком тонких оценок.