Геометрия окружностей

[provincialka]

Да, Коксетера я читала в свое время. Я вот о чем думаю.

Понятие параллельности порождает аффинную геометрию. Понятие прямизны - проективную. Это отдельные математические теории.

А есть ли круговая геометрия, теория, инвариантом которой является окружность?

[Алексей К.]

Я в математике не особо разбираюсь, и не помню, что стоит за всеми этими геометриями (т.е. помню в тот день, когда в очередной раз полистал книжку об этом, но с утра не повторяю и забываю). Но одно время у меня каждое утро начиналось с преобразования Мёбиуса (дробно-линейное отображение), потому сказанное ниже помню хорошо и утверждаю уверенно,

Окружность можно связать с постоянством кривизны, а преобразование Мёбиуса сохраняет постоянство кривизны. Если при этом не игнорировать ориентацию окружности в виде знака кривизны, то инвариантами будут и факты её возрастания/убывания (в частности, вершина плоской кривой перейдёт в вершину образа). Можно ли на это натянуть какую-то "круговую геометрию окружностей" (или уже натянули) --- не знаю. Может, кто-нибудь умный прокомментирует.

[provincialka]

Да, спасибо, я имела в виду что-то в этом роде, только более геометричное. Конечно, инверсии плюс преобразования подобия - как раз тот набор преобразований, который задает искомую геометрию. Вот интересно, кроме окружностей и ангармонического отношения - какие в нкй будут инварианты? Какие типы фигур допустимы?

Впрочем, похоже, об этом много написано на том сайте, с которого началось это обсуждение.

[Алексей К.]

За ангармоническим отношением как-нибудь на досуге слажу в Википедию, а для пары окружностей, заданных коэффициентами $A_{1,2},\ldots,D_{1,2}$ (в обозначениях сообщения #709981 и с принятой там нормировкой) инвариантом будет, например,

$$(B_1+B_2)^2 + (C_1+C_2)^2 - (A_1+A_2)(D_1+D_2) - 2\quad\left[ \equiv 2(B_1B_2+C_1C_2)-(A_1D_2+A_2D_1)\right].$$

Но это банальность --- закамуфлированный угол их пересечения.