Дифф. ур-я задачка из Филиппова

[Fantast2154]

Добрый день, не знаю как решать задачку, помогите пожалуйста.
Найти ортогональные траектории к линиям следующего семейства:
а) $Y=CX^2$
б) $Y=C\exp(x)$
в) $Cx^2+y^2=1$

[ИСН]

Семейство - это очень, очень сложно, далеко за пределами человеческих возможностей. Вы найдите для начала прямую, перпендикулярную к $y=3x+2$.

[Fantast2154]

$y=-1/3x$
Через скалярное произведение векторов

[ИСН]

Так. А в общем случае, к прямой $ax+b$?

[Fantast2154]

$y = -\frac 1 k x + b$ для прямой $y=kx+b$

[iifat]

Fantast2154 в сообщении #708452 писал(а):

$y = -\frac 1 k x + b$ для прямой $y=kx+b$

$y = -\frac 1 k x + c$, вообще говоря. Свободные члены тут не связаны.

[ИСН]

Так. Теперь предположим, в точке $(x,y)$ проходит одна кривая из нашего семейства (обычно это так и есть), и производная в этой точке у неё равна $a$. Чему будет равна производная в этой же точке у кривой из ортогонального семейства?

[Fantast2154]

iifat в сообщении #708460 писал(а):

Fantast2154 в сообщении #708452 писал(а):

$y = -\frac 1 k x + b$ для прямой $y=kx+b$

$y = -\frac 1 k x + c$, вообще говоря. Свободные члены тут не связаны.

Не суть, константа

[Fantast2154]

ИСН в сообщении #708474 писал(а):

Так. Теперь предположим, в точке $(x,y)$ проходит одна кривая из нашего семейства (обычно это так и есть), и производная в этой точке у неё равна $a$. Чему будет равна производная в этой же точке у кривой из ортогонального семейства?

-a

[iifat]

Таки не совсем. Вы ж раньше правильно писали.

[Fantast2154]

$y'=-\frac 1 a$ не туда глянул)

[ИСН]

Так. Теперь возьмите своё первое семейство и примените это знание к нему. Чему тут равна производная в точке $(x,y)$?

[Fantast2154]

$Y=Cx^2$, производная в точке (х,у): $y'=2xC$
Тогда производная в этой же точке для ортогональных траекторий : $y'= - \frac 1 {2C} x$

[ИСН]

Не делайте двух шагов сразу, этак можно зайти... не туда.
Равна ли производная $2xC$? Конечно, равна. Только вот беда: мы же не знаем, чему равна сама эта $C$!

[Fantast2154]

Я так понимаю, что С любое, исключая 0.