Дифф. ур-я задачка из Филиппова

[provincialka]

ИСН в сообщении #710359 писал(а):

Не делайте двух шагов сразу, этак можно зайти... не туда.
Равна ли производная $2xC$? Конечно, равна. Только вот беда: мы же не знаем, чему равна сама эта $C$!

Перевожу: ортогональная кривая пересекает разные кривые исходного семейства, так что в каждой ее точке константа $C$ другая. Надо выразить ее через $x, y$.

А 0 не хуже остальных. Зачем его исключать?

[ИСН]

Мы ткнули пальцем в точку $(x,y)$. Там проходит кривая нашего семейства. Не много, а одна. У неё C не любое, а конкретное. Какое.

[Fantast2154]

Вроде стало понятнее.
Мы берем C для конкретной точки из нашего семейства кривых, в точке (a,b) будет $C= \frac b {a^2}$
Тогда $y' = 2x\frac b {a^2}$, а для ортогональной кривой $y'=-\frac {a^2} {2b}x$
Так?

[ИСН]

Мы не находимся в точке (a,b). Мы находимся в точке (x,y).

[Fantast2154]

Геометрически все ясно и понятно. Есть кривая, имеющая непрерывную производную в каждой точке. Т.е. мы можем провести касательную в каждой точке и построить ей перпендикулярную насечку, так сделать со всеми кривыми и потом эти насечки соединить, как мы делаем с изоклинами.

Для конкретного случая - при заданном С тоже понятно. Например $y=x^2$, тогда $y'=2x$, тогда уравнения касательных $y=y'(x)x+b$, а уравнения перпендикулярных им $y=-\frac 1 {y'(x)}x + Const$.

Но в общем случае для С у меня получается какая-то ерунда

[ИСН]

Уравнения касательных вообще не нужны. Вы же знаете, что такое производная, вот ей и оперируйте. Производная кривой из семейства равна $a$, тогда производная кривой из ортогонального семейства будет $-{1\over a}$, вот и всё.
Теперь какая ерунда получается и почему? Вот уравнения кривых. Мы в точке $(x,y)$. Найдите C. Потом найдите производную. Потом это самое.

[Fantast2154]

Тогда для ортог. $y'=-\frac x {2y}$ из $C=\frac y {x^2}$

[ИСН]

Выходит, что так. Ну вот. Это знаете что такое? Это диффур. Диффуры решать умеете?

[Fantast2154]

Тут обычное разделение переменных. Но меня несколько смущает получившийся результат.. Я ожидал получить некоторое семейство прямых..

[ИСН]

Почему?

-- Пн, 2013-04-15, 16:46 --

Вы графики-то нарисуйте. Две-три кривых из одного семейства и столько же из другого. И увидите ту самую сетку. Кривую, но ортогональную.

[Fantast2154]

а)$Y = \pm \sqrt{C - \frac {x^2} 2}$
б)$Y = \pm \sqrt{C - 2x}$

[ИСН]

Ага, похоже.

[Fantast2154]

Спасибо за помощь)