2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачка из теории множеств
Сообщение14.04.2013, 16:56 


12/03/12
57
Добрый день. Застрял на одной задачке.

Пусть $A, B, C$ подмножества множества $M$. Доказать, что: $(A \subset C)\wedge(B \subset C) \Leftrightarrow ((A \cup B) \subset C)$

Начал я с доказательства: $(A \subset C)\wedge(B \subset C) \Rightarrow ((A \cup B) \subset C)$

$(A \subset C)\wedge(B \subset C) \Rightarrow \neg(\neg(A \subset C) \vee \neg(B \subset C))$
Могу ли я дальше утверждать, что:

$ \neg(\neg(A \subset C) \vee \neg(B \subset C)) \Rightarrow \neg((A \cup B) \subset C)$?
Это кажется довольно очевидно, но как обосновать логически?

В обратную сторону еще хуже:
$ ((A \cup B) \subset C) := \forall x((x \in A \cup B) \Rightarrow (x \in C)) := \forall x(((x \in A) \vee (x \in B)) \Rightarrow (x \in C)) \Rightarrow \forall x(((x \notin A) \wedge (x \notin B)) \vee (x \notin C))$
Непонятно куда дальше следствие строить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка из теории множеств
Сообщение14.04.2013, 17:32 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Просто сразу переписывайте $\subset$ через $\in$ по определению.

-- Вс апр 14, 2013 20:32:47 --

И слева, и справа. Потом чистая логика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка из теории множеств
Сообщение14.04.2013, 19:13 


12/03/12
57
arseniiv в сообщении #710072 писал(а):
Просто сразу переписывайте $\subset$ через $\in$ по определению.

-- Вс апр 14, 2013 20:32:47 --

И слева, и справа. Потом чистая логика.


Как раз с логикой возникли проблемы.

Вот например, если дано: $(A \subset C) \wedge (B \subset C), что по определению значит: $\forall x(((x \in A) \Rightarrow (x \in C)) \wedge ((x \in B) \Rightarrow (x \in C)))$

Хочу допустим снять приоритетное и - $\wedge$, получаю:
$\forall x \neg((((x \in A) \wedge (x \notin C)) \vee ((x \in B) \wedge (x \notin C))))$

Теперь используя соотношение: $(\neg A \vee B) \Rightarrow (A \Rightarrow B) $, получу:
$\forall x \neg((((x \notin A) \vee (x \in C)) \Rightarrow ((x \in B) \wedge (x \notin C))))$

Раскроем отрицание, получим:
$\forall x (((x \notin A) \vee (x \in C)) \Rightarrow ((x \notin B) \vee (x \in C)))$

И на этом этапе все время тону. Делая даьнейшие преобразования либо прихожу с исходному утверждению, либо к чему-то слишком громоздкому. Но никак не к тому что $\forall x((x \in A \cup B) \Rightarrow (x \in C))$

В чем проблема то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка из теории множеств
Сообщение14.04.2013, 21:40 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Так вы правое тоже попреобразовывайте — $\cup$ надо убрать, раз слева его нет. (Правильность выкладок с левым не проверял.)

-- Пн апр 15, 2013 00:43:34 --

А, тут всё видно:
myjobisgop в сообщении #710131 писал(а):
$\forall x (((x \notin A) \vee (x \in C)) \Rightarrow ((x \notin B) \vee (x \in C)))$
myjobisgop в сообщении #710131 писал(а):
$(A \subset C) \wedge (B \subset C)$
Верхняя формула не станет эквивалентной себе при замене $A \leftrightarrow B$, а правая останется. Значит, преобразования неверны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка из теории множеств
Сообщение14.04.2013, 22:10 


12/03/12
57
arseniiv
Прошу прощения, там должно было получиться: $\forall x (((x \notin A) \vee (x \in C)) \wedge ((x \notin B) \vee (x \in C)))$


Цитата:
Так вы правое тоже попреобразовывайте

Так я сначало доказываю следствие вправо $\Rightarrow$, поэтому правую часть я должен получить из цепочки слледствий $... \Rightarrow A_1 \Rightarrow A_2 \Rightarrow...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка из теории множеств
Сообщение14.04.2013, 22:22 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Если у вас не цепочка следствий, а цепочка равносильных преобразований, можно пройти один раз в одну сторону или с обеих сторон до какой-нибудь одинаковой формулы, и вообще сделать из эквивалентных формул граф, в котором есть путь от левой к правой.

Да, иногда удобнее идти сначала в одну сторону, а потом в другую, потому что ничего лучше $\Leftrightarrow$ не выходит. А тут-то выходит!

А теперь примените дистрибутивность $\wedge$ и попробуйте укоротить выражение. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка из теории множеств
Сообщение14.04.2013, 23:22 


12/03/12
57
arseniiv, Большое спасибо! Теперь то я разобрался с этой задачей.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group