Задачка из теории множеств

[myjobisgop]

Добрый день. Застрял на одной задачке.

Пусть $A, B, C$ подмножества множества $M$. Доказать, что: $(A \subset C)\wedge(B \subset C) \Leftrightarrow ((A \cup B) \subset C)$

Начал я с доказательства: $(A \subset C)\wedge(B \subset C) \Rightarrow ((A \cup B) \subset C)$

$(A \subset C)\wedge(B \subset C) \Rightarrow \neg(\neg(A \subset C) \vee \neg(B \subset C))$
Могу ли я дальше утверждать, что:

$ \neg(\neg(A \subset C) \vee \neg(B \subset C)) \Rightarrow \neg((A \cup B) \subset C)$?
Это кажется довольно очевидно, но как обосновать логически?

В обратную сторону еще хуже:
$ ((A \cup B) \subset C) := \forall x((x \in A \cup B) \Rightarrow (x \in C)) := \forall x(((x \in A) \vee (x \in B)) \Rightarrow (x \in C)) \Rightarrow \forall x(((x \notin A) \wedge (x \notin B)) \vee (x \notin C))$
Непонятно куда дальше следствие строить.

[arseniiv]

Просто сразу переписывайте $\subset$ через $\in$ по определению.

-- Вс апр 14, 2013 20:32:47 --

И слева, и справа. Потом чистая логика.

[myjobisgop]

arseniiv в сообщении #710072 писал(а):

Просто сразу переписывайте $\subset$ через $\in$ по определению.

-- Вс апр 14, 2013 20:32:47 --

И слева, и справа. Потом чистая логика.

Как раз с логикой возникли проблемы.

Вот например, если дано: $(A \subset C) \wedge (B \subset C), что по определению значит: $\forall x(((x \in A) \Rightarrow (x \in C)) \wedge ((x \in B) \Rightarrow (x \in C)))$

Хочу допустим снять приоритетное и - $\wedge$, получаю:
$\forall x \neg((((x \in A) \wedge (x \notin C)) \vee ((x \in B) \wedge (x \notin C))))$

Теперь используя соотношение: $(\neg A \vee B) \Rightarrow (A \Rightarrow B) $, получу:
$\forall x \neg((((x \notin A) \vee (x \in C)) \Rightarrow ((x \in B) \wedge (x \notin C))))$

Раскроем отрицание, получим:
$\forall x (((x \notin A) \vee (x \in C)) \Rightarrow ((x \notin B) \vee (x \in C)))$

И на этом этапе все время тону. Делая даьнейшие преобразования либо прихожу с исходному утверждению, либо к чему-то слишком громоздкому. Но никак не к тому что $\forall x((x \in A \cup B) \Rightarrow (x \in C))$

В чем проблема то?

[arseniiv]

Так вы правое тоже попреобразовывайте — $\cup$ надо убрать, раз слева его нет. (Правильность выкладок с левым не проверял.)

-- Пн апр 15, 2013 00:43:34 --

А, тут всё видно:

myjobisgop в сообщении #710131 писал(а):

$\forall x (((x \notin A) \vee (x \in C)) \Rightarrow ((x \notin B) \vee (x \in C)))$

myjobisgop в сообщении #710131 писал(а):

$(A \subset C) \wedge (B \subset C)$

Верхняя формула не станет эквивалентной себе при замене $A \leftrightarrow B$, а правая останется. Значит, преобразования неверны.

[myjobisgop]

arseniiv
Прошу прощения, там должно было получиться: $\forall x (((x \notin A) \vee (x \in C)) \wedge ((x \notin B) \vee (x \in C)))$

Цитата:

Так вы правое тоже попреобразовывайте

Так я сначало доказываю следствие вправо $\Rightarrow$, поэтому правую часть я должен получить из цепочки слледствий $... \Rightarrow A_1 \Rightarrow A_2 \Rightarrow...$

[arseniiv]

Если у вас не цепочка следствий, а цепочка равносильных преобразований, можно пройти один раз в одну сторону или с обеих сторон до какой-нибудь одинаковой формулы, и вообще сделать из эквивалентных формул граф, в котором есть путь от левой к правой.

Да, иногда удобнее идти сначала в одну сторону, а потом в другую, потому что ничего лучше $\Leftrightarrow$ не выходит. А тут-то выходит!

А теперь примените дистрибутивность $\wedge$ и попробуйте укоротить выражение.

[myjobisgop]

arseniiv, Большое спасибо! Теперь то я разобрался с этой задачей.