мера образа функции, удов-й условию Липшица

[tavrik]

1)
а) пусть $f:[a,b] \to \operatorname{R^2}$ удовлетворяет условию Липшица(на заданном отрезке). доказать что $\lambda (\operatorname{Im} f)=0$
$ \lambda$ - мера Лебега.

условие - для любых $a, b$
$|f(x_1)-f(x_2)| \le L|b-a|$
но ведь сам отрезок - несчетное множество...

б)
функция $g: \operatorname{R^2} \to{R}$ определена следующим образом:
$g(x,y)=x$
верны ли след утверждения:

i) для любого измеримого множества E - его образ также измерим?
да вроде. просто первый элемент берется же.

ii) ............. закрытого.......................................закрытое множество?
вначале искал контрпример но тогда iii) теряет смысл? т.е. верно?

iii) ...........$\operatorname{F \sigma}$........$\operatorname{F \sigma}$?

[SpBTimes]

1) так условие Липшица записано неверно
2) б) можно сослаться на то, что у вас сечение замкнутого множества, а значит оно замкнуто

[tavrik]

для любых $x_1, x_2$

[Nimza]

tavrik в сообщении #709994 писал(а):

а) пусть удовлетворяет условию Липшица(на заданном отрезке). доказать что

Есть более точное и красивое утверждение, называемое теоремой площади (см. Федерер Г. "Геометрическая теория меры" или Krantz, Parks "Geometric integration theory"). Если отображение $f \colon [a,b] \to \mathbb R^2$ липшицево и $J_1$ --- 1-якобиан $f$, то

$$ \int\limits_a^b J_1(t) \, dt = \int\limits_{f([a,b])} \sharp \{ t \colon f(t) = y \} dH^1(y) \geqslant H^1(f([a,b])), $$

где $H^1$ --- одномерная мера Хаусдорфа. Отсюда видно, что она конечна. А в этом случае любая $s$-мерная мера хаусдорфа $H^s$, $s>1$ образа отрезка равна нулю. При $s=2$ это означает, что мера Лебега от образа отрезка равна нулю.

[SpBTimes]

tavrik
Да нет же, там $|f(x_1) - f(x_2)| \leqslant L|x_1 - x_2|$.
Посему разбейте отрезок $[a; b]$ равномерно, например

[tavrik]

SpBTimes
а...ясно, я думал как бы по максимуму оценить.

Nimza
спасибо.
но до хаусфорда мы еще не дошли и думаю имелось ввиду доказательство теми инструментами, которые мы прошли: мера Лебега и ее свойства.

[SpBTimes]

tavrik
Вероятно, придется использовать свойство, что мера счетного множества множеств меры ноль есть множество меры ноль.

[_hum_]

SpBTimes в сообщении #710087 писал(а):

tavrik
Да нет же, там $|f(x_1) - f(x_2)| \leqslant L|x_1 - x_2|$.

Может, все-таки, правильнее:

$$\rho_2\big(f(x_1), f(x_2)\big) \leqslant L |x_1 - x_2|, $$

где $\rho_2$ - евклидово расстояние.

Тогда понятнее становится, откуда плясать (от покрытия образа маленькими шариками).

[SpBTimes]

_hum_
Можно и так
Равномерно раздробить - и хорошо

[_hum_]

SpBTimes в сообщении #710144 писал(а):

Равномерно раздробить - и хорошо

А разве этого достаточно? Тут же важно убедиться, что общую площадь шариков, покрывающих образы результатов такого дробления, можно сделать сколь угодно малой.

[Nimza]

(Оффтоп)

tavrik в сообщении #710103 писал(а):

но до хаусфорда мы еще не дошли и думаю имелось ввиду доказательство теми инструментами, которые мы прошли: мера Лебега и ее свойства.

Это было понятно, у нас в основных курсах геометрической теории меры не было. Я это написал просто для того, чтобы показать более общую картину. Тот интеграл от $\sharp \{ t \colon f(t) = y \}$ называется площадью отображения $f$. Площадь определена для любых липшицевых отображений $A \to \mathbb{R}^n$, где $A$ --- измеримое множество в $\mathbb{R}^m$, $m \leqslant n$. Ещё есть коплощадь. Она вообще супер полезна. С помощью неё, например, легко дифференцировать интегралы по параметру, от которого зависит область интегрирования.

[Slip]

tavrik
в первой - попробуйте разбить отрезок на много-много равных частей и посмотреть, где будут располагаться образы каждой части. вдруг получится, что в куче каких-то маленьких кружочков? Да, и запишите условие Липшица правильно, а то совсем тяжело будет.

про измеримость образа - на плоскости бывает много множеств меры нуль, например, отрезок. А еще есть неизмеримые множества на прямой...

про замкнутость - правильно контрпример искали, он есть, что-то такое длинное и уходящее на бесконечность

ну а для последнего - попробуйте доказать, что образ любого замкнутого множества будет множеством типа $F_\sigma$. А для этого можно вспомнить, что среди замкнутых множеств есть очень хороший класс, который сохраняется при непрерывных отображениях.

[tavrik]

slip
то есть(измеримость образа) - я могу сказать, что любое подмножество прямой измеримо, как подмножество множества меры ноль(в $\operatorname{R_2}$). и если $y$ у нас константа а $x$ бежит по тому самому неизмеримому множеству в $\operatorname{R}$ - то это и есть контрпример?

да, отрезки расположатся в кружочках радиусом $L\varepsilon$ - а покрытие(нужно искать покрытие?) покроет и кружочки? ведь мера отрезка - не нулевая...

замкнутое уходящее в бесконечность еще не придумал. его образ должна выйти вся прямая - так?

[Slip]

tavrik

с измеримостью образа - да, все верно, это и есть контрпример.

с первой - давайте поподробнее, какие отрезки, какие кружочки :)

а прямая разве не замкнута?

[tavrik]

я звонил преподу - она почему то настаивала, что надо полукруги(образа) замыкать прямоугольниками. это что такое и почему? я не уяснил.