ЕГЭшная C6.

[Terraniux]

nnosipov в сообщении #688856 писал(а):

Terraniux в сообщении #688786 писал(а):

А какие будут?

В РИА Новости состоялся круглый стол "Особенности КИМ ЕГЭ по математике в 2013 г."
http://www.ege.edu.ru/ru/main/news/index.php?id_4=18730

nnosipov в сообщении #688856 писал(а):

Terraniux в сообщении #688786 писал(а):

А какие будут?

В РИА Новости состоялся круглый стол "Особенности КИМ ЕГЭ по математике в 2013 г."
http://www.ege.edu.ru/ru/main/news/index.php?id_4=18730

А там было что-нибудь про тип задач?

Вот немного халявы-C6 вдогонку. Тоже на тему квадратов.
Является ли квадратом натурального числа
а) число 5776
б) число вида $\overline{abcabc}$, где $a,b,c$ - некоторые цифры, и $a\ne 0$
в) число вида $1\Idots11$ ($n$ единичек) при каком-нибудь натуральном $n>1$
г) число $n(n+1)(n+2)(n+3)+1$ при любом натуральном $n$?

(Оффтоп)

а) Да, числа 76. Тут, кстати, спорный вопрос. С одной стороны, да. С другой - какая система счисления?
б) нет, ибо эти числа имеют вид $\overline{abc} \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$. Чтобы "компенсировать" эти простые, надо на них домножать, а это даст нам $1001^2$, что больше
в) тоже нет. Эти числа разбиваются на "классы": $11k$ и$11k+1$. Таким образом, они разбиаются на классы: остаток $0$ и остаток $1$ при делении на $11$. При этом, нуль раскладывается так: $11(10^n + 10^{n-2}+ \Idots + 10^0)$, и, очевидно, не дает нам квадрата. Если же число дает остаток 1, то оно представляется в виде $11(10^n + 10^{n-2} + \Idots)$, что аналогично не дает нам квадрата.
г) да. $n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = (n^2+3n+1)^2$

-- 03.03.2013, 08:21 --

А вот эта C6 мне показалось сложнее, чем квадраты:
Решите уравнение (в любых числах):
$x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{2-z^2}+z\sqrt{3-x^2}=3$

[nnosipov]

Terraniux в сообщении #690437 писал(а):

А там было что-нибудь про тип задач?

Ну, посмотрите сами.

Terraniux в сообщении #690437 писал(а):

Вот немного халявы-C6 вдогонку. Тоже на тему квадратов.
Является ли квадратом натурального числа
...
в) число вида $1\Idots11$ ($n$ единичек) при каком-нибудь натуральном $n>1$
...

Это, конечно, халява, но в п. в) Ваши рассуждения полностью ошибочны.

[Shadow]

Terraniux в сообщении #690437 писал(а):

А вот эта C6 мне показалось сложнее, чем квадраты:
Решите уравнение (в любых числах):
$x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{2-z^2}+z\sqrt{3-x^2}=3$

$(x-\sqrt{1-y^2})^2+(y-\sqrt{2-z^2})^2+(z-\sqrt{3-x^2})^2=$

[DjD USB]

В пункте в) все намного легче

[Terraniux]

Все эти числа представляются в виде $1+ 10+ \ldots + 10^n = \frac {10^n - 1} {9}$. Снизу квадрат, значит, сверху - тоже. Но число сверху равно $9 \cdot 1 \ldots 11$($n-1$ единица). Раз 9 квадрат, значит, $1 \ldots 11$ - тоже квадрат. Значит, все числа такого вида, меньшие нашего - квадраты. Но это не так.

[Shadow]

Terraniux Вас не смущает то, что было число из n единиц, превратили его в дробь, потом сократили ее и получили число из $n-1$ единиц?
Хватит фокусы показыват, проверьте делимость на 4.

[Terraniux]

Какую-то пургу написал...
Да уж, делимость на 4 все доказывает. ТАм может быть или $0$, или $1$. А единички дают точно не $0$и$1$

-- 04.03.2013, 08:32 --

Цитата:

$x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{2-z^2}+z\sqrt{3-x^2}=3$

$(x-\sqrt{1-y^2})^2=x^2+1-y^2-2x\cdot \sqrt{1-y^2}$
$(y-\sqrt{2-z^2})^2=y^2+2-z^2-2y\cdot \sqrt{2-z^2}$
$(z-\sqrt{3-x^2})^2=z^2+3-x^2-2z\cdot \sqrt{3-x^2}$
Сложим их:
$(x+\sqrt{1-y^2})^2+(y+\sqrt{2-z^2})^2+(z+\sqrt{3-x^2})^2=6-2(x\cdot \sqrt{1-y^2}+y\cdot \sqrt{2-z^2}+z\cdot \sqrt{3-x^2})$, что, если верить условию, равно $0$. Сумма квадратов $0$ только если каждый квадрат $0$. Значит, $x=\sqrt{1-y^2}; y=\sqrt{2-z^2}; z=\sqrt{3-x^2}$. Отсюда $x = \sqrt{2-x^2}; y = \sqrt{-y^2}; z = \sqrt{-y^2+2}$. ОТсюда $y=0; z=\sqrt2; x = 1$.
Спасибо Shadow.

[Terraniux]

В каждой клетке таблицы $n\times n$ записано четное число. Можно ли все числа сделать нечетными в каждом из трех случаев:
а) $n=3$, за 1-й шаг нужно изменить четность 2 чисел, за 2-й - у 2-х, за 3 - у трех и т.д.
б) $n=2013^{2142}$. За $j$-й шаг нужно изменить четность $(n-1)^j$ чисел
в) $n$ - произвольное натуральное. За $l$-й шаг надо поменять $l$ чисел.

(Решение)

Будем называть числа, которые приобрели нечетность на каком-либо изпредыдущих шагов (и сейчас являются нечетными) - "старыми", а остальные - "новыми" (которые, возможно, ранее были нечетными). Опишем стратегию пункта в). За $1$-й шаг изменим любое число. На второй изменим 1 старое и одно новое число. На третий изменим 1 старое и 2 новых. Итого будет 2 нечетных. НА 4-й изменим 2 на 2. И в каждый последующий раз, на $2k$-м шаге будем менять поровну старых и новых чисел, а на $2k+1$ - на 1 больше новых, увеличивая таким образом с каждый шагом на 1 число нечетных чисел. Но, в какой-то момент, оставшихся новых чисел будет меньше, чем $k$ (количество шагов предполагаемого достижения равно $m=2n^2+1$). Поэтому, как только такое произойдет, изменим тактику: на четных шагах старим все новые, и обновляем оставшееся количество старых. На след. нечетном шаге старим обновленные и еще одно.
В пункте же б) у нас есть только 1 попытка (поскольку $(n-1)^2>n$ при $n>2$. Но, очевидно, что этого сделать не получится, посколько изменив 1 раз $n-1$ число, а не $n$ ничего путного не выйдет (одно-то останется).

[teddybrooks]

Terraniux в сообщении #688723 писал(а):

Shadow в сообщении #688653 писал(а):

Terraniux в сообщении #688638 писал(а):

а) как бы намек на использование остатков при делении на 3 или 9, но пока более-менее сносного не вынес

64 достаточно сносно. Не зря это пункт а)
г) если речь идет о $300\cdots01$, можно записать уравнение $3\cdot 10^n=y^2-1$ и попробовать решить.

-- 26.02.2013, 22:43 --

а по пункту в) какие у вас предположения?

По пунтку в) есть предположения:
$ n^2 + n^2(n+1)^2 + (n+1)^2= (n^2+n+1)^2 $

Остался г), сейчас что-нибудь придумаю.

(Оффтоп)

Была когда-то с похожей темой: Найти корень числа $n(n+1)(n+2)(n+3)+1$

Это неверно, потому что $ (n^2+n+1)^2=n^4+2n^3+3n^2+2n+1 $, в то время как
$ n^2+n^2(n+1)^2+(n+1)^2=n^4+2n^3+4n^2+2n+1=(n^2+n+1)^2+n^2 $
Однако можно посмотреть, чему равен квадрат числа, следующего за $n^2+n+1$, а он равен:
$(n^2+n+2)^2=n^4+n^2+4+4n^2+4n+2n^3=(n^4+2n^3+3n^2+2n+1)+2n^2+2n+3 $
Получается, что: $(n^2+n+1)^2<n^2+n^2(n+1)^2+(n+1)^2<(n^2+n+2)^2$, т.е наше число лежит между квадратами двух натуральных чисел, стоящих рядом друг с другом; следовательно, само квадратом не является.

[Shadow]

Тоесть, Вы уверены, что $1^2+1^2\cdot 2^2+2^2$ квадратом не является?

[teddybrooks]

(Оффтоп)

Мда, бред написал.

[Shadow]

(Оффтоп)

teddybrooks в сообщении #709638 писал(а):

Мда, бред написал.

Ни в коем случае. Досадная арифметическая ошибка, с кем не бывает. А прием "между соседними квадратами" - очень полезный инструмент.