ЕГЭшная C6.

[Terraniux]

Всем доброго дня суток!

В сборнике 2013 нашел такую задачу (считается самой сложной из С6):
Является ли квадратом натурального числа
а) какое-либо число, сумма цифр которого равна $10$
б) число $2012^2013+2$;
в) числовое выражение $2012^2+2012^2\cdot 2013^2+2013^2$
г) число вида $30\Idot 01$ ($n$ нулей) при каком-нибудь $n>1$.

(Оффтоп)

Самый легкий - б) делимость на 4 все доказывает. В пункте а) как бы намек на использование остатков при делении на 3 или 9, но пока более-менее сносного не вынес. Самый интересный - пункт г). Пока хотелось бы выслушать ответы других участников.

[Shadow]

Terraniux в сообщении #688638 писал(а):

а) как бы намек на использование остатков при делении на 3 или 9, но пока более-менее сносного не вынес

64 достаточно сносно. Не зря это пункт а)
г) если речь идет о $300\cdots01$, можно записать уравнение $3\cdot 10^n=y^2-1$ и попробовать решить.

-- 26.02.2013, 22:43 --

а по пункту в) какие у вас предположения?

[nnosipov]

По-моему, п. в) хорошо известен. Как и пункт г), впрочем.

[Terraniux]

Shadow в сообщении #688653 писал(а):

Terraniux в сообщении #688638 писал(а):

а) как бы намек на использование остатков при делении на 3 или 9, но пока более-менее сносного не вынес

64 достаточно сносно. Не зря это пункт а)
г) если речь идет о $300\cdots01$, можно записать уравнение $3\cdot 10^n=y^2-1$ и попробовать решить.

-- 26.02.2013, 22:43 --

а по пункту в) какие у вас предположения?

По пунтку в) есть предположения:
$ n^2 + n^2(n+1)^2 + (n+1)^2= (n^2+n+1)^2 $

Остался г), сейчас что-нибудь придумаю.

(Оффтоп)

Была когда-то с похожей темой: Найти корень числа $n(n+1)(n+2)(n+3)+1$

[DjD USB]

Жалко, что таких заданий скорее всего на ЕГЭ-2013 не будет

[Terraniux]

DjD USB в сообщении #688758 писал(а):

Жалко, что таких заданий скорее всего на ЕГЭ-2013 не будет

А какие будут?

[nnosipov]

Terraniux в сообщении #688786 писал(а):

А какие будут?

Неожиданные.

[Terraniux]

В пункте г) получается примерно так:
$3 \cdot 2^n \cdot 5^n = (y-1)(y+1)$
"Разделим" это произведение так:
$y-1 = 3 \cdot 2^m \cdot 5^k; y+1 = 2^{n-m} \cdot 5^{n-k}$ (или наоборот).
В этом случае будет так:
$2^m \cdot 5^k(2^{n-2m} \cdot 5^{n-2k} - 3) = 2$
Во втором случае будет так:
$2^m \cdot 5^k(2^{n-2m} \cdot 5^{n-2k} - 3) = -2$

[nnosipov]

Terraniux, тут есть только один важный момент: пара чисел $y \pm 1$ чем-то замечательна, и это сильно облегчит дальнейшее исследование.

А, ну Вы это фактически уже заметили. Лучше сразу раскидать двойки и пятёрки, учитывая то, что $\gcd{(y-1,y+1)}=1$ или $2$.

[Terraniux]

nnosipov в сообщении #688793 писал(а):

Terraniux, тут есть только один важный момент: пара чисел $y \pm 1$ чем-то замечательна, и это сильно облегчит дальнейшее исследование.

Они одной четности и дают разность 2. Я это и использовал же?

-- 27.02.2013, 13:56 --

В общем, у меня получилось, что $k=0$, а значит, и $n$.

[nnosipov]

Terraniux в сообщении #688795 писал(а):

Я это и использовал же?

Да, всё так, но лучше не вводить новые буквы.

[Terraniux]

Terraniux в сообщении #688790 писал(а):

$2^m \cdot 5^k(2^{n-2m} \cdot 5^{n-2k} - 3) = 2$
$2^m \cdot 5^k(2^{n-2m} \cdot 5^{n-2k} - 3) = -2$

А из этих равенств получаем, что или $2^m \cdot 5^k=1$ или $2^{n-2m} \cdot 5^{n-2k} - 3=1$. Но тогда $m, k = 0$ и $n=0$. Так что ответ - таких квадратов не существует.
Так правмльно?

[nnosipov]

Terraniux в сообщении #688798 писал(а):

Так правмльно?

Я бы здесь попридирался. Почему выражения в скобках --- целые числа? Это надо как-то объяснить. Если они дробные, то вывод не будет обоснованным.

Вообще, $m$ и $k$ здесь лишние. Попробуйте без них. Мне кажется, рассуждения будут логически проще.

[DjD USB]

Terraniux в сообщении #688638 писал(а):

В сборнике 2013 нашел такую задачу

А что за сборник?

[nnosipov]

Terraniux в сообщении #688786 писал(а):

А какие будут?

В РИА Новости состоялся круглый стол "Особенности КИМ ЕГЭ по математике в 2013 г."
http://www.ege.edu.ru/ru/main/news/index.php?id_4=18730