Почему эквивалентны лагранжианы

[ИгорЪ]

Возьмем лагранжиан частицы на сфере, записанный с помощью множителя лагранжа
$L=\dot{x_i}^2/2 + \sum\lambda(x_i^2-1)/2$
его УД
$\lambda x_i=\ddot {x}_i, x_i^{2}-1=0 $
позволяют выразить
$\lambda=\sum(x_i,\ddot{x_i})$
Подставив эту штуку обратно в начальный лагранжиан
$L=\dot{x_i}^2/2 + \sum(x_i,\ddot{x_i})(x_i^2-1)/2$,
получим некий новый, не эквивалентный начальному. Чтобы показать неэквивалентность, можно, например, тупо решить оба набора УД для двумерного случая в полярных координатах и убедится, что решения разные. Аналогичная неэквивалентность при таких подстановках выполняется и при рассмотрении лагранжианов без множителей Лагранжа и без связей. Подстановка плоха и неприменима для получения эквивалентного лагранжиана т.к. мы делаем зависимыми ранее независимые переменные, а УД получают варьированием независимых пременных.
Однако, может ли кто объяснить, чем лучше подстановка в 1 томе Грина, Шварца, Виттена, Теории суперструн стр.74, (1990), где один лагранжиан переходит в другой, после подстановки в него выражения для $e$, взятого из УД
$ L=1/2(e^{-1}\dot{x}^2+e), \dot{x}^2-e^2=0 \to L=-\sqrt{-\dot{x}^2}$
и при этом лагранжианы оказываются эквивалентны.

[Munin]

В первом примере у вас лагранжиан превращается из $L(q,\dot{q})$ в $L(q,\dot{q},\ddot{q}).$ Во втором случае у вас он остаётся прежнего типа, функцией от нулевых и первых производных. Думаю, в этом всё дело.

[Oleg Zubelevich]

а вот из чего вообще вытекает, что если у нас есть лагранжиан $L$ и уравнения связей, то надо писать какие-то уравнения Лагранжа со множителями?
Почему, нгапример, не написать систему дифференциальных уравнений "уравнения Лагранжа с лагранжианом $L$" +"уравнения связей"

[ИгорЪ]

Oleg Zubelevich в сообщении #706650 писал(а):

а вот из чего вообще вытекает, что если у нас есть лагранжиан $L$ и уравнения связей, то надо писать какие-то уравнения Лагранжа со множителями?
Почему, нгапример, не написать систему дифференциальных уравнений "уравнения Лагранжа с лагранжианом $L$" +"уравнения связей"

$\ddot{x}=0, \ddot{y}=0, x^2+y^2=0$ очевидно несовместны.

Munin в сообщении #706641 писал(а):

В первом примере у вас лагранжиан превращается из $L(q,\dot{q})$ в $L(q,\dot{q},\ddot{q}).$ Во втором случае у вас он остаётся прежнего типа, функцией от нулевых и первых производных. Думаю, в этом всё дело.

В приведенном примере, от второй пр-ой легко избавиться, выделяя полную пр-ую, я проверял.

[Oleg Zubelevich]

ИгорЪ в сообщении #706664 писал(а):

$\ddot{x}=0, \ddot{y}=0, x^2+y^2=0$ очевидно несовместны.

а такая связь ни с чем не своместима, в том числе и с уравнениями Лагранжа со множителями.

Вообще Вам надо базой овладевать. Почитайте для начала вариационные методы в 4 томе Смирнова "курс высш. мат". И много Ваших вопросов пропадут сами по себе. По учебникам физики вариационные методы не учат

[ИгорЪ]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #706682 писал(а):

а такая связь ни с чем не своместима, в том числе и с уравнениями Лагранжа со множителями.

Вообще Вам надо базой овладевать. Почитайте вариационные методы в 4 томе Смирнова "курс высш. мат"

Термин совместная связь мне известен, я уже вашу точку зрения понял из другой темы, но книги бывают разные, старые и новые, вкусы их авторов тоже разные и "базы" тоже имеют право быть разными. Возьмите плохую "несовместную" связь, и попробуйте решить двумерный случай, уверяю вас получится.

[type2b]

ИгорЪ, вам совершенно правильно заметили, что ваш вопрос пропадет, если вы разберетесь, откуда берется метод множителей Лагранжа и что он значит. Тогда вы не будете выкидывать связь после подстановки лагр. множителя в лагранжиан.

[ИгорЪ]

type2b в сообщении #706829 писал(а):

Тогда вы не будете выкидывать связь после подстановки лагр. множителя в лагранжиан.

Т.е связь остается, и после получения системы УД из "нового" лагранжиана с подставленной $\lambda$, к ним надо добавить эту связь? Тогда лагранжианы будут эквивалентны, это я проверял, но почему связь остается? Вот здесь topic50884-45.html меня за это насмешливо ругали.

[type2b]

смысл метода лагранжевых множителей состоит в следующем. Пусть для простоты есть конечномерное пространство $M$, и мы хотим найти экстремум функции $f(x)$ на подпространстве $N$, заданном условиями $g_1(x)=\dots=g_k(x)=0$. Для этого нам надо занулить вариацию функции $f$ вдоль подпространства $N$. При этом, вообще говоря, вариации в трансверсальных направлениях не будут равны нулю. Вместо того, чтобы разрешать явно условия на $N$ и варьировать по независимым координатам, можно добавить к функции множители Лагранжа. Тогда уравнение будет выглядеть как $\frac{\delta}{\delta x} f+\sum \lambda_i\frac{\delta}{\delta x} g_i=0$, а также уравнения связей. Смысл суммы с лямбдами в вариации тот, что она параметризует (ко)нормальное расслоение к $N$, т.е. вариация $f$ в трансверсальных направлениях к $N$ не обязана быть равной нулю, как мы и хотели.
Соответственно, в вашем лагранжиане связь никуда не девается. Поле лямбда нельзя просто так исключить (а подставлять его в лагранжиан бессмысленно, т.к. оно умножается на нечто, что равно нулю). Если вы его выкинули, то будьте добры не забывать его уравнения движения, т.е. связь, и допускать вариации $X$ только вдоль нее.

[ИгорЪ]

Обсуждение сконцентрировалось вокруг связей. Возможно я зря привел пример лагранжианов с ними, хотя формально,$\lambda$ можно считать не лагранжевым множителем, а независимой переменной.

Первоначальный вопрос состоял в следующем.

Берем лагранжиан с двумя динамическими переменными, и допустим из его двух УД нам удалось выразить одну переменную $x, \dot x$ через другие, и мы получили один дифур на $y, \dot y$ , ну расцепляется система. Всё хорошо. Приходит студент и решает $x, \dot x$ подставить прямо в лагранжиан, и получает из него новый дифур на $y, \dot y$, несовпадающий с первым и удивляясь, - он ждал того же дифура, идет к препу. Преподаватель объясняет ему почему это неправильно, так мол и так. Студент не понял объяснения и принес набор формул где Виттен делает ту же процедуру
$ L=1/2(e^{-1}\dot{x}^2+e), \dot{x}^2-e^2=0 \to L=-\sqrt{-\dot{x}^2}$
и при этом лагранжианы оказываются эквивалентны, а дифура совпадающие. Препод в ступоре, что ему отвечать?

[mihiv]

Ясно, что в некоторых случаях так сделать можно (по крайней мере результат будет правильный).Возьмем, например, гармонический осциллятор:$L=\frac {\dot {x}^2+\dot {y}^2}2-\frac {x^2+y^2}2$. Решим УД для $y$ и полученную функцию времени подставим в $L$, в результате получим $L=\frac {\dot {x}^2}2-\frac {x^2}2+\text {полная производная по времени }$, а из этого лагранжиана получим верное УД для $x$. Если, конечно, я правильно понимаю ваш вопрос.

[ИгорЪ]

mihiv
Вы привели пример прямой суммы двух лагранжианов без взаимодействия, их УД независимы.
Рассмотрите, например частицу на сфере в полярных координатах или ещё чего попроще, типа $L=\dot x^2 +\dot y^2 +xy$ . И решать УД не надо, просто выразить одну переменную и подставить её один раз в УД, а другой раз в лагранжиан и получить новое УД. Результаты будут неэквивалентны.

[ИгорЪ]

С весенней назойливостью, попытаюсь реанимировать тему подробным примером.
Система с лагранжианом (это частица на сфере)
$L=\frac{1}{2}mr^2( \dot{\theta}^2+\sin^2\theta\ \dot{\phi}^2)$
имеет УД
$\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta})-mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\phi}^2=0$
$\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\phi})=0$.
Из второго виден сохраняющийся момент,
$M=mr^2\sin^2\theta\dot{\phi}$
который позволяет подстановкой
$\dot\phi=\frac{M}{mr^2\sin^2\theta}$
расцепить систему УД и найти уравнение для $\theta$
$\ddot{\theta}-\sin\theta\cos\theta(\frac{M}{mr^2\sin^2\theta})^2=0$
Теперь попробуем подставить $\dot\phi=\frac{M}{mr^2\sin^2\theta}$ сразу в лагранжиан
$L=\frac{1}{2}mr^2( \dot{\theta}^2+\sin^2\theta\ (\frac{M}{mr^2\sin^2\theta})^2)$
и уравнение на $\theta$
$\ddot{\theta}+\sin\theta\cos\theta(\frac{M}{mr^2\sin^2\theta})^2=0$
получается с неправильным знаком.
Такая подстановка - неправильна, ибо нарушает независимость переменных $\phi, \theta$, а уравнения Эйлера -Лагранжа выведены именно для таких переменных.

Однако, Грин Шварц Виттен делает ту же процедуру для доказательства эквивалентности двух лагранжианов релятивистских частиц ( а в дальнейшем и струн)
$ L=1/2(e^{-1}\dot{x}^2-e), \dot{x}^2+e^2=0 , e=\sqrt{-\dot{x}^2} \to L=-\sqrt{-\dot{x}^2}$
и дифура оказываются совпадающими. Как быть?

[warlock66613]

У Виттена аналог вашего $M$ не входит в преобразованный лагранжиан. Проблена не в нарушении независимости $\theta$ и $\phi$ (исключать координаты, вообще говоря, не запрещено), а в том что вы варьируете теперь только по траекториям с постоянным $M$, а это неправильно.

[ИгорЪ]

Тем не менее процедуры одинаковы. И лишь одно неверное.