Краевая задача

[Ward]

Здравствуйте!

Решить следующую краевую задачу:

$$\begin{cases} \Delta u=1, & \text{in } B_1\\ u\mid_{S_1}=\sin \varphi+\cos 2\varphi \end{cases},$$

где $B_1=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2<1\}, S_1=\partial B_1$

Помогите пожалуйста а с чего тут начать?

[sup]

Как-то у Вас странно. В задаче $x,y$, а в гран-условии $\varphi$ (угол в полярных координатах ?).
А вообще есть два подхода решения: подбором и методом разделения переменных.

[Ward]

это ведь вроде метод Фурье для задачи Лапласа в круге. Верно?

[sup]

Это задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге ...
Что толку в "пустых" названиях. Вы бы лучше определились с системой координат: декартовы или полярные?

[Ward]

Уважаемый sup!
Я решил для случая $\Delta u=0$ в $B_1=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2| x^2+y^2<1\}$
Решение в данной случае имеет вид:

$$u(x,y)=A_0+\sum \limits_{k=1}^{\infty}r^k(A_k\cos(k\varphi)+C_k\sin(k\varphi))$$

Так как у нас $r=1$, то решение принимает вид:

$$u(x,y)=A_0+\sum \limits_{k=1}^{\infty}(A_k\cos(k\varphi)+C_k\sin(k\varphi))=\sin \varphi+\cos 2\varphi$$

поскольку $\sin \varphi+\cos 2\varphi\mid _{r=1}=\sin \varphi+\cos 2\varphi$
Сравнив коэффициенты Фурье левой и правой части получаем, что: $A_2=1$ и $C_1=1$, а остальные обнуляются
Подставляя все обратно получаем, что:

$$u(x,y)=\cos 2\varphi+\sin \varphi=\cos^ 2\varphi-\sin^2\varphi+\sin \varphi=x^2-y^2+y$$

Надеюсь, что нигде не накосячил.
А как для случая $\Delta u=1$ решить я что-то не знаю.
Помогите пожалуйста.

[sup]

Ну а как мы решаем неоднородное уравнение? Сначала находим частное решение. Потом вычитаем его. Потом решаем однородное уравнение. Какое-нибудь простое частное решение можете предложить? "Круглое" такое, чтобы на краю всякой "гадости" не получилось. Ну а дальше по той же схеме что и выше.

[Ward]

А как найти частное решение?
Честно говоря не могу предложить частное решение.

[sup]

Ну что уж так беспомощно. А для уравнения
$z''(t) = 1$
какое-нибудь частное решение можете предложить?