Группа нечетного порядка

[xmaister]

Добрый вечера, завтра олимпиада. Помогите решить задачу: Докажите, что для каждой группы всякий элемент- квадрат тогда и только тогда когда порядок группы нечетный.

[Sonic86]

1. $|G|=2n+1 \& 1=x^{|G|}\Rightarrow x=...$.
2. Если $|G|=2n$, то отображение $x\to x^2$ - не инъективно - подобрать такой $x$.

(Оффтоп)

а в чем подвох?

[xmaister]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #708833 писал(а):

а в чем подвох?

Наша команда просто пьяна, вероятно в этом . Но всеже, спассибо.

[Sonic86]

Вот я вчера лопухнулся: в обратную сторону у меня не получается строго доказать: если $|G|$ четно, то не всякий элемент - квадрат. Нутром чувствую, что так, а доказать не могу

(Оффтоп)

xmaister в сообщении #708854 писал(а):

Наша команда просто пьяна, вероятно в этом . Но всеже, спассибо.

Как-то раз решал что-то олимпиадное с похмелья. На удивление решалось хорошо и притом интуитивно, в виде инсайтов

-- Пт апр 12, 2013 04:02:31 --

Ааа! До меня дошло! Пусть $|G|$ четное. $G$ разбивается на пары взаимно обратных элементов. Но $e^2=e$! Значит есть еще один $y:y^2=e$