Нанодоказательство ВТФ для четных степеней

[ishhan]

Belfegor в сообщении #606753 писал(а):

Может быть, проблема вот в этом:
вернем 2-ую степень:

$$(x+y-z)^2-x^2-y^2+z^2=2(z-x)(z-y)$$

$$-x^2-y^2+z^2=0$$

$$(x+y-z)^2=2(z-x)(z-y)$$

ishhan в сообщении #606719 писал(а):
Если предположить, что число $z$ чётное и соответственно $x,y$ нечётные, то очевидно что последнее равенство невозможно, так как его правая часть в соответствии с условием целостности числа $(x+y-z)$ должна делиться на 4 но этот факт вступает в противоречие с тем, что числа $(z-x)$ и $(z-y)$ нечётные по предположению.
Может быть сами докажете для $x$ чётное и $z,y$ нечётные

Так? Теорема Пифагора ложна?

Запишем решения уравнения Пифагора используя тождество:

$$(x+y-z)^2=2(z-x)(z-y)$$

Исходя из условий целостности имеем:
$(z-x)=2p^2$
$(z-y)=q^2$
$(x+y-z)=2pq$
Из этой системы уравнений находим решения:
$z=2p^2+q^2+2pq$
$y=2p^2+2pq$
$x=2p^2+q^2$
$p, q$ целые числа
Это Пифагоровы тройки можете проверить.
Просто в Пифагоровых тройках одно из чисел $z-x, z-y$ обязательно должно быть чётным.
И Вы правы, не существует пифагоровых троек в которых оба числа $z-x, z-y$ нечётные.
А вообще здесь есть над чем поразмыслить, я пока детально не проверял.
Не забывайте, что этот "нанофакт" относится только к числам вида $a=x^3,b=y^3,c=z^3$, так что аплодисменты по поводу доказательства для чётных степеней оставим на потом

[Belfegor]

ishhan в сообщении #606771 писал(а):

Не забывайте, что этот "нанофакт" относится только к числам вида $a=x^3,b=y^3,c=z^3$, так что аплодисменты по поводу доказательства для чётных степеней оставим на потом

Многоуважаемый ishhan! А почему не относится к $a=x^5,b=y^5,c=z^5$?

-- Чт авг 16, 2012 22:51:20 --

ishhan в сообщении #606771 писал(а):

Просто в Пифагоровых тройках одно из чисел $z-x, z-y$ обязательно должно быть чётным.

$\begin{array}{l} X = 4n + 1 \\ Y = 4p + 1 \\ (4n \pm 1)^6 = 4n_1 + 1 \\ (4p \pm 1)^6 = 4p_1 + 1 \\ 4n_1 + 1 + 4p_1 + 1 = Z^6 \\ 4(n_1 + p_1 ) + 2 = Z^6 \\ \end{array} $
Вот, кстати, почему в 6 степени X и Y не могут быть нечетными

[ishhan]

Belfegor в сообщении #606802 писал(а):

А почему не относится к $a=x^5,b=y^5,c=z^5$?

Я же говорю Вам, что детально не проверял.
Вы справедливо заметили, что это можно применить к числам $a=x^n,b=y^n,c=z^n$ где показатель степени $n$ любое целое число не равное нулю, и если большее число $z$-чётное, то такие тройки не могут быть решениями УФ вида:$x^{2n}+y^{2n}=z^{2n}$
Просто хотелось обратить внимание любителей ВТФ на тождество содержащее уравнение Ферма:

$$(x+y-z)^n-x^n-z^n+z^n=n(x+y)(x-z)(y-z)W^{n-3}(x,y,-z)$$

где $W^{n-3}(x,y,-z) $ целочисленная симметрическая форма степени $n-3$ содержания единица если $n$ простое число.
И содержания $n$, если $n$ нечётное составное число, но тогда тождество выглядит как:

$$(x+y-z)^n-x^n-z^n+z^n=(x+y)(x-z)(y-z)W^{n-3}(x,y,-z)$$

А так же, обратить внимание любителей ВТФ на свойства симметрии формы $W^{n-3}(x,y,-z)$
Возможно имеет смысл рассмотреть совместно три равенства (опять же для n=6)
1)$z^6=x^6+y^6$
2)$(x^2+y^2-z^2)^3-x^6-y^6+z^6=3(x^2+y^2)(x^2-z^2)(y^2-z^2)$
3)$(x^3+y^3-z^3)^2-x^6-y^6+z^6=2(x^3-z^3)(y^3-z^3)$
Но придётся повозиться

[Shadow]

(Оффтоп)

Belfegor в сообщении #606753 писал(а):

Так? Теорема Пифагора ложна?

Теорема Пифагора и Пифагоровые тройки - разные вещи.

[Belfegor]

ishhan в сообщении #606809 писал(а):

можно применить к числам $a=x^n,b=y^n,c=z^n$ где показатель степени $n$ любое целое число не равное нулю, и если большее число $z$-чётное, то такие тройки не могут быть решениями УФ вида:$x^{2n}+y^{2n}=z^{2n}$

Или так
$\begin{array}{l} X = 4m + 1 \\ Y = 4p + 1 \\ (4m \pm 1)^{2n} = 4m_1 + 1 \\ (4p \pm 1)^{2n} = 4p_1 + 1 \\ 4n_1 + 1 + 4p_1 + 1 = Z^{2n} \\ 4(n_1 + p_1 ) + 2 = Z^{2n} \\ \end{array} $

[Belfegor]

Латаю нанодоказательство для 6-ой степени
Итак: надо доказать, что равенство

$X^6 + Y^6 = Z^6\qquad\qquad(1)$

не выполняется при любых
$X,Y,Z \in N;X,Y,Z - $взаимно простые числа

Для четных степеней всегда $Z - Y > 1$

Представим (1) в виде

$Z^6 - Y^6 = X^6\qquad\qquad(2)$

Разложим на сомножители:

$(Z^3 - Y^3 )(Z^3 + Y^3 ) = X^6\qquad\qquad (3)$

Так как

$(Z^3 - Y^3 ) \bot (Z^3 + Y^3 ) $ отсюда следует, что


$ \begin{array}{l} Z^3 - Y^3 = a^6\qquad\qquad (4) \\ \\ Z^3 + Y^3 = b^6\qquad\qquad (5) \\ \end{array} $

Преобразуем (4) и (5):

$\begin{array}{l} 2Z^3 = a^6 + b^6\qquad\qquad(6) \\ \\ 2Y^3 = b^6 - a^6\qquad\qquad(7) \\ \end{array}$

Сделаем замены

$\begin{array}{l} a^2 = k\qquad\qquad(8) \\ \\ b^2 = t\qquad\qquad(9) \\ \end{array}$

Получим:


$\begin{array}{l} 2Z^3 = k^3 + t^3 \qquad\qquad(10) \\ \\ 2Y^3 = t^3 - k^3\qquad\qquad(11) \\ \end{array} $

Преобразуем (10)

$\begin{array}{l} 2Z^3 = k^3 + t^3\qquad\qquad \\ \\ (k + t)(k^2 - kt + t^2 ) = 2Z^3 = 2p^3 s^3\qquad\qquad (12) \\ \\ (k + t) \bot (k^2 - kt + t^2 )\qquad\qquad(13) \\ \\ (k + t) = 2p^3\qquad\qquad(14)\\ \end{array}$

Далее:

$\begin{array}{l} 2Z^3 = k^3 + t^3 \\ \\ 2Z^3 + Z^3 = k^3 + t^3 + Z^3 \\ \\ 3Z^3 = k^3 + t^3 + Z^3\qquad\qquad(16) \\ \\ (k + t)^3 + Z^3 - 3Z(k + t) = 3Z^3\qquad\qquad(17) \\ \\ (k + t + Z)^3 = 3Z((k + t)(2k + t + Z) + Z^2 )\qquad\qquad(18) \\ \\ (2p^3 + ps)^3 = 3ps(2p^3 (2p^3 + ps + k) + p^2 s^2 )\qquad\qquad(19) \\ \\ p^3 (2p^2 + s)^3 = 3p^3 s(2p(2p^3 + ps + k) + s^2 )\qquad\qquad(20) \\ \\ (2p^2 + s)^3 = 3s(2p(2p^3 + ps + k) + s^2 )\qquad\qquad(21) \\ \end{array}$

Из (21) следует, что $ (2p^2 + s)^3$ кратно $s$

Т.к. $ p \bot s$ это утверждение неверно, получили противоречие.

И значит равенство (1) не выполняется для натуральных чисел

[kvistor]

Уважаемый Belfegor!
В Вашем доказательстве приведены формулы (4) и (5):
$Z^3-Y^3=a^6$
$Z^3+Y^3=b^6$
Вы утверждаете, что эти равенства выполняются. Но если я все правильно понял, Вы ошибаетесь. Пример:
$17^3-12^3=3185=5\cdot7\cdot91$
$17^3+12^3=6641=29\cdot229$
При этом числа могут иметь одинаковые сомножители. Пример:
$21^3-15^3=5886=2\cdot3^3\cdot109$
$21^3+15^3=12636=2^2\cdot3^5\cdot13$
Поэтому:
$Z^3-Y^3\ne a^6$
$Z^3+Y^3\ne b^6$
Я тоже едва не споткнулся об этот"пенек".
Желаю удачи.

[ishhan]

kvistor в сообщении #609437 писал(а):

В Вашем доказательстве приведены формулы (4) и (5):
$Z^3-Y^3=a^6$
$Z^3+Y^3=b^6$
Вы утверждаете, что эти равенства выполняются. Но если я все правильно понял, Вы ошибаетесь. Пример:
$17^3-12^3=3185=5\cdot7\cdot91$
$17^3+12^3=6641=29\cdot229$

Равенства:
$Z^3-Y^3=a^6$
$Z^3+Y^3=b^6$
имеет смысл посмотреть http://mathworld.wolfram.com/FermatsLastTheorem.html
представляют собой условия целостности для чисел $X,Y,Z$ в предположении, что верно равенство $X^6+Y^6=Z^6$
При этом $X=ab$
P.S. $91=7\cdot 13$

[tormans]

Для Belfegora
Записав Ваше исходное уравнение как:$X^6=Z^6-Y^6,$перепишем его следующим образом:
$(X^3)^2 =(Z^3)^2-(Y^3)^2$.
Получили уравнение теоремы Пифагора.
В "Дискуссионных темах" в "ПУРГАТОРИИ" я обнаружил тему "Доказательство теоремы Ферма для n=2m". Обратившись к этой теме, Вы найдете доказательство того, что решения этого уравнения в целых числах нет.

[AKM]

tormans, kvistor --- заблокирован.

Правила форума, п. I-1(п), двойная регистрация.

[Belfegor]

В Пургатории ВТФ давным давно доказана в три строчки (или даже в две может быть...)!

[vasili]

если Z число четное, то из $Z = p^2 + q^2 $ следует, что числа P и q одной четности, но тогда $X = P^2 -q^2$ и $Y = 2Pq$ числа четные.
В равенстве $(X + Y - Z)^2 = 2(Z -X)(Z -Y)$ исчезает противоречие

[Belfegor]

vasili в сообщении #708660 писал(а):

В равенстве $(X + Y - Z)^2 = 2(Z -X)(Z -Y)$ исчезает противоречие

Уважаемый vasili! А оно там было?