Интегрирование по частям

[Ward]

Уважаемый ex-math!
Мне предложили сделать следующее:

$$\int \limits_{0}^{{[\sqrt{N}]}/{\sqrt{N}}}\rho(t\sqrt{N})g'(t)dt=\int \limits_{0}^{{1}/{\sqrt{N}}}\rho(t\sqrt{N})g'(t)dt+\int \limits_{{1}/{\sqrt{N}}}^{{[\sqrt{N}]}/{\sqrt{N}}}\rho(t\sqrt{N})g'(t)dt=-\frac{1}{\sqrt{N}}\left(\int \limits_{0}^{{1}/{\sqrt{N}}}\sigma(t\sqrt{N})g''(t)dt+$$

$$+\int \limits_{{1}/{\sqrt{N}}}^{{[\sqrt{N}]}/{\sqrt{N}}}\sigma(t\sqrt{N})g''(t)dt $$

Рассмотрим первый интеграл. В нем $\sigma(t\sqrt{N})=\dfrac{t\sqrt{N}-t^2N}{2}$ И сказали, что $g''(t)$ заменить на эквивалентную.
Такое рассуждение вообще говоря верно? Но как найти эквивалентную к $g''(t)$ я не могу.

[ex-math]

Ward
Во-первых, мы с Вами договорились, что верхний предел удобнее взять $1-1/\sqrt N$.
Во-вторых, окрестность нуля выделять смысла нет -- там $g''(t)$ ведет себя хорошо.
В-третьих, Ваше выражение для $\sigma$ верно только для аргумента между $0$ и $1$, дальше она периодически продолжается.
В-четвертых, Вам надо аккуратно вычислить $g'(t)$ и $g''(t)$, найти их проблемные точки и исследовать их поведение в окрестности этих точек.

[Ward]

Уважаемый ex-math!
Я вот в качестве точки разбиения взял $1-\frac{1}{\sqrt{N}}$ и получаем интеграл, который мы разбиваем на два, причем первый интеграл имеет такой вид:

$$\sqrt{N}\int \limits_{0}^{1-\frac{1}{\sqrt{N}}}\rho(t\sqrt{N})g'(t)dt=\int \limits_{0}^{1-\frac{1}{\sqrt{N}}}g'(t)d\sigma(t\sqrt{N})=g'(t)\sigma(t\sqrt{N})\left\mid_{0}^{1-\frac{1}{\sqrt{N}}}-\int \limits_{0}^{1-\frac{1}{\sqrt{N}}}\sigma(t\sqrt{N})g''(t)dt$$

Нетрудно показать, что $g'\left(1-\frac{1}{\sqrt{N}}\right)\sigma(\sqrt{N}-1)=O(N^{1/4})O(1)=O(N^{1/4})$
Также можно показать, что $g'(0)\sigma(0)=0$
Если я Вас правильно понимаю, то при достаточно больших $N$ величина $1-\frac{1}{\sqrt{N}}$ близка к единице и можно проверить, что $g''(t)\sim\frac{1}{(1-t)^{3/2}}$ при $t\to 1$
Еще такой вопрос. В интеграле $\int \limits_{0}^{1-\frac{1}{\sqrt{N}}}\sigma(t\sqrt{N})g''(t)dt$ функция сигма заменить на $O(1)$ или явно вычислить его?

P.S. Уважаемый ex-math! Я вот честно говоря не совсем понимаю Вашу идею. Был бы Вам крайне признателен если бы Вы объяснили смысл этих действий.

[ex-math]

Все верно, $\sigma$ оцениваете константой и интегрируете $|g''(t)|$, учитывая ее асимптотику в единице.

Смысл очень простой. Функция $g'(t)$ гладкая, а $\rho$ за счет множителя $\sqrt N$ очень быстро колеблется. На ее периоде $g'(t)$ почти не меняется, так что интеграл по периоду почти равен нулю. Но если мы просто оценим $\rho$ по модулю, мы все это потеряем. Чтобы эти осцилляции отловить, мы интегрируем по частям. Теперь $\sigma$ сохраняет знак и оценивая ее константой мы почти ничего не теряем. Но вот беда -- $g''(t)$ имеет в единице неинтегрируемую особенность. Значит, надо ее выделить и в окрестности единицы по частям не интегрировать. Точку разбиения подобрать так, чтобы оценки обоих интегралов совпали по порядку.