Частоты появления различных простых чисел

[druggist]

Известно, что каждое число натурального ряда можно представить в виде произведений простых чисел в соответствующих степенях. Представим таким образом N первых натуральных чисел. При этом будет использовано $m_2(N)$ "двоек", $m_3(N)$ "троек" $m_5(N)$ "пятерок" и так далее( показатели степеней складываются, так число $8=2^3$ дает три "двойки") Отложим по оси у количество появлений соответствующего простого числа в порядке убывания(по Парето). Затем поделим на полное количество чисел, т.е., построим распределение частот появления различных простых чисел. Каким будет это распределение в пределе при N стремящемся к бесконечности?

[Sonic86]

$m_p(N)=v_p(N!)=\frac{N-s_p(N)}{p-1}$, где $s_p(N)$ - сумма цифр $N$ в $p$-ичной системе счисления, $0\leqslant s_p(N)\leqslant\frac{\ln N}{\ln p}$. При достаточно малых $p$ сортировка $m_p(N)$ будет совпадать с сортировкой по $p$. Т.е. слева распределение будет просто гиперболическое.

Фигня про нуля удалена.

[ex-math]

Sonic86
Для простого $p$ предельная частота будет $1/(p-1)$, как Вы и показали. А что еще за доля числа нулей?

[druggist]

Что-то я не понял, что значит, "слева" и "справа"? А эмпирическая зависимость(типа $N/(\ln(N) -1)$ для кол-ва простых чисел в натуральном ряде длины $N$) что дает?

[ex-math]

druggist
Асимптотический закон тут ни при чем. Формулу Sonic86 в более простом виде можете посмотреть у Виноградова в "Основах теории чисел", начало главы 2.

[Sonic86]

ex-math в сообщении #708505 писал(а):

Sonic86
Для простого $p$ предельная частота будет $1/(p-1)$, как Вы и показали. А что еще за доля числа нулей?

Ой! Это я ересь написал! Сейчас сотру.

druggist в сообщении #708506 писал(а):

Что-то я не понял, что значит, "слева" и "справа"?

Не обращайте внимания, я стер
В пределе распределение будет "гиперболическим" глобально, только дискретным.

[druggist]

Хорошо, забудем про Парето. Правильно ли я понял, что при $N$ стремящемся к бесконечности имеем следующее. Возьмем гиперболу $1/(x-1)$. При абсциссе x равной определенному простому числу p, ордината будет давать предел отношения $m_p(N)/N$ при $N$ стремящемся к бесконечности. Это конечно же не частота и не распределение, но ситуация определенная. Тем не менее не понял вывода, Виноградова смотрел, не помогло, может как-то можно "на пальцах" пояснить?

[nnosipov]

druggist в сообщении #708581 писал(а):

При абсциссе x равной определенному простому числу p, ордината будет давать предел отношения $m_p(N)/N$ при $N$ стремящемся к бесконечности.

Совершенно верно.

druggist в сообщении #708581 писал(а):

Тем не менее не понял вывода, Виноградова смотрел, не помогло, может как-то можно "на пальцах" пояснить?

Вы не поняли, почему верна формула

$$ \nu_p(N!)=[N/p]+[N/p^2]+\ldots \; ? $$

Действительно, у Виноградова там так написано, что не сразу понятно. Но понять можно.

[Sonic86]

druggist в сообщении #708581 писал(а):

Тем не менее не понял вывода, Виноградова смотрел, не помогло, может как-то можно "на пальцах" пояснить?

На пальцах так :
$v_p(n!)=v_p(\prod\limits_{k=1}^{n}k)=v_p(\prod\limits_{k=1, p\mid k}^{n}k)=\left|k=pj\right|=$$v_p(\prod\limits_{j=1}^{[n/p]}pj)=\left[\frac{n}{p}\right]+v_p(\prod\limits_{j=1}^{[n/p]}j)=\left[\frac{n}{p}\right]+v_p(\left[\frac{n}{p}\right]!)$
(словами писать лень, извините, но вот этот вывод - его и словами описать можно)