I тур
1. Для чисел

,

,

, больших

и удовлетворяющих условию

, доказать неравенство:
2. У трапеции

с основаниями

и

угол между диагоналями прямой. Внутри

существует такая точка

, отличная от точки пересечения диагоналей, что

. Пусть

— точка пересечения биссектрис углов

и

,

— точка пересечения биссектрис углов

и

. Доказать, что

.
3. Пусть

,

— натуральные числа, удовлетворяющие условию

. Докажите, что существует многочлен

степени

с коэффициентами

,

,

, делящийся на

.
II тур
4. Пусть

— функция, действующая из множества рациональных чисел в множество рациональных чисел, такая, что:
Найти все такие функции.
5. В остроугольном треугольнике

проведены высоты

и

, пересекающие описанную около треугольника окружность во второй раз в точках

и

соответственно. На прямых

и

выбраны такие точки

и

, что

и

. Точка

— середина отрезка

. Дано, что

. Найти

.
6. Простое число

называется кубическим, если любое целое число представляется в виде

, где

,

,

— целые числа. Найти все кубические числа.
III тур
7. Из 25 человек любые двое разговаривают друг с другом на некотором языке, причем любые двое человек разговаривают друг с другом только на одном языке, даже если знают и другие общие языки. Известно, что среди любых трех человек найдется по крайней мере один, кто разговаривает с двумя другими из этих трех на одном и том же языке. Докажите, что найдется человек, разговаривающий на одном и том же языке с некоторыми 10 другими людьми.
8. Пусть многочлен

с действительными коэффициентами имеет локальный максимум

и абсолютный минимум

. Доказать, что
9. Точки

,

,

выбраны на сторонах

,

,

треугольника

соответственно. Окружности, описанные около треугольников

,

,

, пересекают описанную около треугольника

окружность в точках

,

,

соответственно (

,

,

). Точки

,

,

симметричны точкам

,

,

относительно середин сторон

,

,

соответственно. Доказать, что треугольники

и

подобны.
IV тур
10. Для каких натуральных

остроугольный треугольник

с углом

можно разбить на

вписанных четырехугольников, таких, что радиусы описанных около них окружностей образуют геометрическую прогрессию?
11. Имеется

ламп

, расположенных в ряд, каждая из которых может быть в одном из двух состояний — «вкл» или «выкл». Каждую секунду лампы одновременно меняют свое состояние по таким правилам: если лампа

и ее соседи (при

,

каждая лампа имеет ровно одного соседа, при других — двух) находятся в одинаковом состоянии, то она принимает состояние «выкл»; иначе она принимает состояние «вкл». В начальном положении все лампы находятся в состоянии «выкл», кроме самой левой лампы, имеющей состояние «вкл».
1) Доказать, что существует бесконечно много таких натуральных

, для которых все лампы будут со временем в состоянии «выкл».
2) Доказать, что существует бесконечно много таких натуральных

, для которых лампы не будут все одновременно в положении «выкл» ни в какой момент времени.
12. Доказать, что существует бесконечно много таких натуральных

, что все простые делители числа

не превышают

.