Счет и числа.

[Joker_vD]

bot
Человек, не знающий линейной алгебры.

Ей-ей, возможность сложить семь звезд и пять коров и получить $7\cdot\mathrm{star}+5\cdot\mathrm{cow}\in\mathbb N\oplus\mathbb N$ — она весьма полезна.

[Stan Slapenarski]

jurij писал(а):

Я не профессиональный математик. Поэтому прошу обсудить следующий способ введения понятия чисел и их свойств.
Счет и числа.

А, вообще, принять подобные вызовы под силу лишь профессионалам высочайшего класса.

«Это - одно из воспоминаний детства. Я жил в Геттингене. Был декабрь тысяча восемьсот семидесятого года. Мой отец и я приехали в академию, когда ее президент Мауст уже зачитывал имена участников Всемирного состязания математиков. Отец сразу пошел записываться, поручив меня заботам старинного друга нашей семьи госпожи Катет. От нее я узнал, что сторож академии старик Помбо выстрелом из пушки подает сигнал к началу этого исторического состязания. Попутно госпожа Катет рассказала мне один малоизвестный эпизод из жизни Помбо. Этот Помбо вот уже тридцать лет подряд стреляет из пушки, возвещая о наступлении полудня. Однажды он забыл дать залп. Тогда на следующий день он произвел выстрел за предыдущий день - и так до самой достопамятной пятницы декабря месяца года тысяча восемьсот семидесятого. И никто в Геттингене даже не заметил, что Помбо каждый раз дает орудийный залп днем позже.
Наконец все приготовления были окончены. И вот в присутствии принца Оттона и знаменитых писателей и ученых началось состязание.
- Один, два, три, четыре, пять...
В зале были слышны лишь голоса соревнующихся. К пяти часам счет перевалил за двадцать тысяч. Зрители распалялись все больше, и громким комментариям и пари не было конца.
В семь часов математик Аллен из Сорбонны без чувств свалился на пол. К восьми часам осталось всего семь участников этого благородного состязания.
- 36 747, 36 748, 36 749, 36 750.
В девять вечера Помбо зажег свечи. Зрители воспользовались этим, чтобы подкрепиться захваченной из дому едой.
- 40739, 40740, 40741.
Я смотрел на отца. Он весь взмок, но не сдавался. Госпожа Катет, поглаживая меня по голове, повторяла, словно припев: "Какой у тебя замечательный отец!"
А мне даже есть не хотелось.
Ровно в девять - первая неожиданность. Алгебраист Пулл закричал:
- Миллиард.
Все восторженно заохали; на миг воцарилась тишина; зрители затаили дыхание. И тут итальянец Винакки выкрикнул:
- Миллиард миллиардов миллиардов.
В зале раздались аплодисменты, но сразу же смолкли, едва президент Мауст сердито махнул рукой. Отец с видом превосходства огляделся вокруг, улыбнулся госпоже Катет и начал:
- Миллиард миллиардов миллиардов миллиардов миллиардов...
Зрители восторженно заревели:
- Да здравствует, ур-ра!
Госпожа Катет и я плакали от волнения.
- ...миллиардов миллиардов миллиардов...
Президент Мауст, бледный как полотно, шептал отцу, дергая его за полы пиджака:
- Довольно, хватит, вам станет плохо.
Но отец неумолимо продолжал: "Миллиардов миллиардов миллиардов..." Постепенно голос его стал слабеть, он в последний раз еле слышно выдохнул: "...миллиардов", - и бессильно откинулся на спинку стула. Зрители, вскочив с мест, бешено хлопали в ладоши.
Принц Оттон подошел к отцу и уже хотел повесить ему на грудь медаль, как вдруг Джанни Винакки завопил: "Плюс один".
Толпа, ворвавшись на кафедру, с триумфом вынесла Джанни из зала.
Когда мы подъехали к дому, на пороге нас в сильнейшем волнении уже ждала мать. Накрапывал дождик. Отец, едва выбравшись из дилижанса, бросился в объятия моей матушки и, всхлипывая, прошептал:
- Скажи я "плюс два", победа осталась бы за мной».
Чезаре Дзаваттини «Состязание»

[nikvic]

Stan Slapenarski в сообщении #707815 писал(а):

А, вообще, принять подобные вызовы под силу лишь профессионалам высочайшего класса.

Бывают и талантливые дилетанты, которые обходятся весьма простыми - вплоть до гениальности - средствами.
""Эх, раз, ещё раз, ещё много-много раз.

[jurij]

Цитата из Википедии статья «Теоретическая физика».

«Теоретическая физика не рассматривает вопросы вида «почему математика должна описывать природу?». Она принимает за постулат то, что, в силу неких причин, математическое описание природных явлений оказывается крайне эффективным[1], и изучает последствия этого постулата.»

Меня такое положение дел не устраивает, и я пытался выяснить, почему использование математики столь эффективно в физических, как впрочем, и любых других формализованных теориях.

В древности люди глубоко страдали от того, что не умели считать. Из-за этого не могла возникнуть торговля, не развивались ремесла, не говоря уже об инженерном деле и точных науках. И вот родился особый человек. Он сформулировал аксиомы Пеано, на их основе ввел числа и операции над ними. Далее он показал людям как эти волшебные значки (цифры) можно сопоставить с предметами окружающего мира, а действия с этими значками с действиями с этими предметами. Люди проверили, убедились и нескзано удивились этому. И, как следует из цитаты Википедии, удивляются, по сей день. (Как следует из школьного учебника, ссылку на который любезно предоставил Slapenarski, тогда, когда этот особый человек изобрел счет и числа, люди еще не умели писать, а потому письменных свидетельств этой истории не осталось).

К чему все это? А к тому, что если счет и числа были введены описанным выше способом, то действительно можно только удивляться тому, что числовые (математические) модели окружающего нас мира столь точно соответствуют действительности. Как правильно заметил Arseniiv аксиоматически можно ввести любую числовую систему. Точнее, какую необходимо, ту, соответствующими аксиомами, и введем. Но не факт, что числовые модели, основанные на числах этой систему, будут соответствовать действительности. Потому можно только еще раз удивиться тому, что «математическое описание природных явлений оказывается крайне эффективным».

Иное дело, если числа возникли как способ количественного ОТОБРАЖЕНИЯ действительности. А вся математическая формалистика возникла значительно позже. Но главное, числа и счет – это способ (количественного) отображения окружающего мира, осталось. В этом случае нет ничего удивительного, что математические модели подтверждаются в опыте. Нет потому, что корректно сформулированная теория (математическая модель) это та же действительность, только выраженная в числах. Собственно, эту мысль в исходном материале я и попытался провести.

Мой главный оппонент Stan Slapenarski пытается убедить меня в том, что числа – это одно, а окружающий нас материальных мир это другое. И если между ними и есть сходство, то чисто случайное. А потому остается только удивляться «почему математическое описание природных явлений оказывается крайне эффективным».

[nikvic]

jurij в сообщении #707913 писал(а):

В древности люди глубоко страдали от того, что не умели считать. Из-за этого не могла возникнуть торговля, не развивались ремесла, не говоря уже об инженерном деле и точных науках. И вот родился особый человек. Он сформулировал аксиомы Пеано

Это - для единого учебника истории?

[Stan Slapenarski]

jurij

Цитата:

почему математическое описание природных явлений оказывается крайне эффективным?

Я нахожу этот вигнеровский вопрос тривиальным, и у меня есть на него простой и очевидный ответ, но сейчас я уже близок к исчерпанию лимита своего времени. Надеюсь завтра-послезавтра Вам на него ответить.

[Ontt]

jurij в сообщении #707913 писал(а):

почему математическое описание природных явлений оказывается крайне эффективным

Ответ на этот вопрос мне видится всего в одном слове: подгонка.

[Stan Slapenarski]

Итак, я склонен считать, что как наши формальные (аналитические) теории – математические или логические, так и имеющие эмпирическое обоснование – естественнонаучные (физические, химические и т.п), а также не только абстрактные, формальные теории, но и простые, эмпирические методы или приемы вычислений, все это, в процессе их становления проходит через испытания опытом, практикой. И те из них, которые описывают наш прошлый опыт или позволяют предсказывать наш будущий опыт, нами сохраняются и принимаются. Те же, которые не соответствуют нашему опыту, практике, которые имеют противоречащие им следствия – отбрасываются. Помните тезис «практика – критерий истинности»?!. Еще я выше приводил цитату из Лакатоса, в которой утверждалось, что даже аксиомы вводились не как очевидные истины, а как исходный материал для полемики. Таким образом, я нахожу не только не удивительным, но и тривиальным то, что теории или методы, прошедшие через отбор на основе соответствия опытом, ему соответствуют.

jurij писал(а):

И вот родился особый человек. Он сформулировал аксиомы Пеано,

Звали его Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд и произошло это в 1901 году.

jurij писал(а):

числа – это одно, а окружающий нас материальных мир это другое.

А Вы с этим не согласны?

jurij писал(а):

Иное дело, если числа возникли как способ количественного ОТОБРАЖЕНИЯ действительности. А вся математическая формалистика возникла значительно позже. Но главное, числа и счет – это способ (количественного) отображения окружающего мира, осталось.

Однако, это же не значит, что можно отождествлять это отображение с самим окружающим миром, а также различные формы этого отображения между собой.

[Stan Slapenarski]

А вот почему математика играет существенную роль в успешно и точно описывающих, объясняющих наш мир теориях – это уже другой вопрос. Я могу объяснить это тем, что наш мир упорядочен, в частности, и математически. Еще Галилео Галилей отметил: «Книга природы написана языком математики».

Еще я приведу пару иллюстраций своих аргументов цитатами из книги «Интеллектуальные уловки» Жана Брикмона и Алена Сокала:

«история показывает, что теория принимается главным образом из-за ее успеха. К примеру, основываясь на механике Ньютона, удалось вывести большое число астрономических феноменов и земных движений, находящихся в полном согласии с наблюдением. Кроме того, доверие к этой теории было усилено такими предсказаниями, как возвращение кометы Галлея в 1759 году, и такими необычайными открытиями, как открытие Нептуна в 1846 году, найденного именно там, где он должен был находится по предсказаниям Леверье и Адамса».

«В конечном счете, главная причина того, что мы верим в правдивость научных результатов (по крайней мере, наиболее подтвержденных), относится к тому факту, что они объясняют связность нашего опыта. Необходимо уточнить: "опыт" здесь означает все наблюдения, которыми мы располагаем, включая результаты проведенных в лабораториях экспериментов, цель которых в том, чтобы количественно (иногда с невероятной точностью) проверить предсказания научных теорий. Приведем лишь один пример: квантовая электродинамика предсказывает, что магнитный момент электрона имеет значение, равное

1,001159652201+0,000000000030,

где "+" означает погрешности в теоретическом подсчете (использующем большое число приближений). Недавний эксперимент дает результат

1,001159652188+0,000000000004,

где "+" означает экспериментальные погрешности».

-- 10.04.2013, 07:22 --

Резюме: И, собственно, если математика не порождена упорядоченностью нашего мира, то откуда же еще она могла взяться?!

[arseniiv]

(Коррекция.)

Stan Slapenarski в сообщении #708042 писал(а):

где "+" означает

В самом деле, ну есть же $\pm$ \pm.

[master]

master в сообщении #707699 писал(а):

Ontt
вынужден покинуть дискуссию. Возник вопрос: Является ли сложение чисел, хм... сложением чисел? брррр

Выяснил, не является. То что мы называем сложением чисел есть сложение мощностей множеств, основанное на сложение базовых мощностей элементов(скорее всего это представление не полное). Число есть обобщающий символ. Пока только так.

[Joker_vD]

$$\begin{array}{l} 0=\lambda f.\;\lambda x.\;x \\ 1 = \lambda f.\;\lambda x.\; f\, x \\ 2 = \lambda f.\;\lambda x.\; f\,(f\, x) \\ \hdots \end{array}$$

Теперь можно ввести понятие "следующее число": $\mathrm{succ}=\lambda n.\;\lambda f.\; \lambda x.\; f\, (n\,f\,x)$, ввести сложение: $\mathrm{plus}=\lambda m.\;\lambda n.\;\lambda f.\; \lambda x.\; m\, f\, (n\,f\,x)$, и т.д.

[Stan Slapenarski]

arseniiv

(Коррекция)

Цитата:

В самом деле, ну есть же $\pm$ \pm.

У меня было подозрение, что он там должен быть, но в оригинале (html) написаны именно плюсы.

[master]

Joker_vD
дайте пожалуйста пояснения.

[master]

Joker_vD в сообщении #708215 писал(а):

$$\begin{array}{l} 0=\lambda f.\;\lambda x.\;x \\ 1 = \lambda f.\;\lambda x.\; f\, x \\ 2 = \lambda f.\;\lambda x.\; f\,(f\, x) \\ \hdots \end{array}$$

лямбда исчисление?