Теория чисел

[Keter]

Найти натуральное $n$, для которого выполняется условие $2^n || 3^{1024}-1$.

Что означает значек $||$ ?

Я так понял, что это просто значок "делит". Тогда всё просто:

$1024=2^{10}, \quad 3^{1024}-2=3^{2^10}-1=(3^{2^9}+1)(3^{2^8}+1)...(3^{2^0}+2)(3-2)$. Получается 10 множителей, каждый из которых делится только на 2, но не на 4. И один множитель делится на 4. Тогда $n=10+2=12$.

[Sonic86]

Keter в сообщении #650756 писал(а):

Что означает значек $||$ ?

Я так понял, что это просто значок "делит". Тогда всё просто:

Правильно писать "значок".
Выражение $a^n||b$ обозначает, что $a^n|b$, но при этом $a^{n+1}\nmid b$. Также пишут $n=v_a(b)$ (всегда видел лишь случай, когда $a$ простое) и вроде даже $n=\operatorname{ord}_a(b)$.
А сам показатель Вы точно сосчитали. Только в формуле вроде не $3^{2^0}+2$, а $3^{2^0}+1$ и $3-1$.

[Keter]

Sonic86, про значок понял. Спасибо. Да, опечатался в некоторых моментах.

[maxal]

Более общий результат, известный как Lifting The Exponent Lemma (LTE), приведён тут: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 1&t=393335