почему ординалы были определены именно таким образом
Почему ординалы определяются именно как транзитивные множества транзитивных множеств? Попросту так показалось/оказалось удобным. Суть не в транзитивности. Просто традиционные аксиомы теории множеств таковы, что таким способом определенные ординалы оказались вполне упорядоченными множествами (относительно принадлежности) и всякое вполне упорядоченное множество оказалось порядково изоморфно какому-то единственному ординалу. Приятно? Приятно. Удобно? Удобно. Вот и всё, других оснований для выбора определения ординала по сути дела нет. Ординалы вполне можно было бы определить иначе. Главное — чтобы они были попарно порядково неизоморфны и с точностью до изоморфизма исчерпывали все вполне упорядоченные множества.
эта процедура по большому счету, не связана с порядковыми числами, - ее главная задача - найти количество элементов множества, то есть, кардинальное число.
Целью задачи вполне упорядочения вовсе не является поиск мощности. (Я вынужден повторяться. Простите, если делаю это напрасно из-за недопонимания сути недопонимания.) К примеру, все бесконечные счетные множества имеют одну и ту же мощность, но каждое из них может быть вполне упорядочено массой разных (попарно неизоморфных) способов и тем самым изоморфно отображено на массу различных ординалов.
Что такое перечисление? В обыденности - это алгоритмическая процедура последовательного "пробегания" элементов множества - на первом шаге выбрали один элемент, на втором шаге - другой и т.п. То есть, тут порядок задается временем (шагами). Но проблема в том, что такой подход не обобщается (по крайней мере для меня) - алгоритмы ведь могут работать только с "дискретным".
«Трансфинитное перечисление» тоже в некотором роде алгоритмично. Предположим, к примеру, что у нас есть какой-то способ каждому отличному от
подмножеству
сопоставить элемент
такой, что
. Тогда с помощью этого
мы можем рекурсивно перечислить все элементы
. А именно, мы начинаем перечисление с элемента
. Имея этот стартовый элемент
, мы с его помощью определяем следующий, полагая
. Далее, имея
и
, определяем
. Для каждого натурального
полагаем
. Пробежавшись по всем натуральным
, мы тем самым построили множество
. Если
все еще не равно
, у нас есть возможность определить «очередной» элемент, полагая
. И так далее — по трансфинитной рекурсии: для каждого ординала
на основе уже построенного множества
мы полагаем
. Из мощностных соображений следует, что рано или поздно элементы
будут «исчерпаны» и на очередном трансфинитном шаге
мы получим
, а значит, все элементы
будут «перечислены» посредством ординалов
. Тем самым множество
будет вполне упорядочено. Это и была цель. Нам вовсе не нужно было искать мощность
. Нам просто нужно было как-то вполне упорядочить
, что мы и сделали. Теперь, когда элементы
вполне упорядочены, мы можем получать за счет этого какие-то бонусы. Например, мы можем доказывать какие-то свойства элементов
с помощью трансфинитной индукции по «позиции» элемента и т.п. Но еще раз хочу подчеркнуть, что ни ординал
, на котором завершилось перечисление, ни сам порядок элементов
никак не связаны ни со структурой элементов
, ни с их взаимоотношениями. Перечисление однозначно определяется нашей функцией
, выбирающей «следующий» элемент за ранее выделенными. Для разных функций
будут получаться разные перечисления и даже разные
.