Суть ординальных чисел

[_hum_]

Хотелось бы разобраться с сутью трансфинитных чисел. Насколько я знаю, существует несколько подходов к определению этих объектов. В тех нескольких книгах, что смотрел, всюду подходят к этому вопросу формально: сразу "рассмотрим порядок на множестве", или "введем понятие транзитивного множества" и т.п. Но хотелось бы уловить суть - почему у нас, людей, возникла необходимость во введении отношения порядка, а затем и ординальных чисел. Интуитивно кажется, что все должно начинаться с того, что есть базовые отношения между множествами:
1) отношение равенства "по количеству элементов" (как результат - появление кардинальных чисел, которые это отношение характеризуют);
2) отношение включения одного множества в другое.

И вот наверное ординальность как-то связана со вторым. Кажется, что она как-то описывает структуру множества (как его можно получить из других множеств с помощью отношения 2) )...


В общем, хотелось бы почитать что-нибудь в подобном духе.

[AGu]

Не думаю, что в какой-нибудь серьезной книге можно найти описание «сути» ординалов. Считается, что суть лежит на поверхности: трансфинитные числа потому так и называются, что они «реализуют» продолжение процедуры счета за пределы конечных чисел. Что делать после того, как мы прошлись по всем натуральным числам? Первым делом — отметить это событие рюмашкой под названием $\omega$. Теперь можно считать дальше: $\omega+1,\omega+2,\dots$. Теперь мы прошлись по всем $\omega+n$. Что дальше? Отмечаем это событие парой рюмашек: $\omega+\omega$, она же $2\omega$. Опять считаем: $2\omega+1,2\omega+2,\dots$. В том же духе возникнут $3\omega,4\omega,\dots$. Событие пробежки по всем $n\omega$ будет отмечено посредством $\omega\omega$, оно же $\omega^2$. Дальше рано или поздно возникнут $\omega^3,\omega^4,\dots$. Позже всплывет $\omega^\omega$. Когда-нибудь наступит $\omega^{\omega^\omega}$. И т.д и т.д., и несть сему конца. Думаю, этот «нескончаемый счет» как раз и отражает «суть» ординалов. Ну а если возникает вопрос о том, чем ординалы могут оказаться полезными, то в первую очередь в голову приходят трансфинитная индукция и трансфинитная рекурсия — главные ординальные инструменты.

[g______d]

AGu в сообщении #707660 писал(а):

Думаю, этот «нескончаемый счет» как раз и отражает «суть» ординалов. Ну а если возникает вопрос о том, чем ординалы могут оказаться полезными, то в первую очередь в голову приходят трансфинитная индукция и трансфинитная рекурсия — главные ординальные инструменты.

Да, я себе это тоже так представляю. Недавно было обсуждение про борелевские множества --- что значит "можно получить из отрезков счетным числом теоретико-множественных операций"? Например, рассмотрели счетную последовательность объединений и пересечений. Потом рассмотрели счетные объединения и пересечения таких штук. И так счетное число раз. И так счетное число раз. Потом фразу "и так счетное число раз" повторили счетное число раз. Ну а потом хочется сказать "и так далее до бесконечности". Оказывается, что трансфинитная индукция позволяет это очень просто формализовать.

По поводу того, где это встречается "в реальной жизни": я недавно посмотрел эту лекцию,

http://www.lektorium.tv/lecture/?id=14293

очень познавательно. Наверняка есть еще хорошие примеры.

[FFFF]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #707736 писал(а):

я недавно посмотрел эту лекцию,

http://www.lektorium.tv/lecture/?id=14293

Рому Михайлова можно смотреть даже людям, не занимающимся математикой, очень классные лекции

[Sonic86]

g______d в сообщении #707736 писал(а):

По поводу того, где это встречается "в реальной жизни": я недавно посмотрел эту лекцию,

http://www.lektorium.tv/lecture/?id=14293

очень познавательно. Наверняка есть еще хорошие примеры.

Автор как минимум однофамилец нескольких просто выглядящих проблем из Коуровской тетради.

[_hum_]

AGu в сообщении #707660 писал(а):

Считается, что суть лежит на поверхности: трансфинитные числа потому так и называются, что они «реализуют» продолжение процедуры счета за пределы конечных чисел.

Так а в чем суть процедуры счета? В быту она наиболее часто встречается как процедура, позволяющая узнать число элементов множества, а именно, чтобы узнать мощность интересующего нас множества, можно просто брать наугад "эталонные мнжества" с известными кардинальными числами и производить проверку на равенство, а можно поступать и по-другому - брать не наугад, а в порядке, в котором вкладываются друг в друга эталонные кардиналы: $1 \subset 2 \subset 3 \subset$.... Последнее и есть (в моем понимании) "перечисление множества по порядку". Но здесь не видно ключевой роли "порядковости" - наоборот, на первом месте кардинальные числа. Потому и непонятна суть "продолжения" - ведь при этом происходит полный отрыв одних чисел от других, и аналогия с "подсчетом" полностью теряется.

Вот мне и кажется, что суть все-таки кроется в том, что в конечном случае при подсчете по порядку мы дополнительно как бы устанавливаем внутреннюю структуру множества - из каких подмножеств оно состоит, и как они подчинены друг другу отношением включения (дойдя при счете, например, до 5, мы фактически узнаем, что данное множество состоит из влюченных друг в друга подмножеств 1, 2, 3, 4, 5)...
В этом случае становится более-менее понятна мотивация введения ординалов через транзитивные множества - фактически ординал предстает "эталоном" множества, имеющего заданную структуру соподчиненности (все его транзитивные подмножества - это не что иное как "его составляющие кирпичики"). Нет?

g______d в сообщении #707736 писал(а):

Да, я себе это тоже так представляю. Недавно было обсуждение про борелевские множества --- что значит "можно получить из отрезков счетным числом теоретико-множественных операций"? Например, рассмотрели счетную последовательность объединений и пересечений. Потом рассмотрели счетные объединения и пересечения таких штук. И так счетное число раз. И так счетное число раз. Потом фразу "и так счетное число раз" повторили счетное число раз. Ну а потом хочется сказать "и так далее до бесконечности". Оказывается, что трансфинитная индукция позволяет это очень просто формализовать.

Да, именно это обсуждение подтолкнуло к желанию более подробно познакомиться с ординальными числами. И именно в моменте

Цитата:

Ну а потом хочется сказать "и так далее до бесконечности". Оказывается, что трансфинитная индукция позволяет это очень просто формализовать.

у меня неудовлетворенность - я перестаю "чувствовать" смысл происходящего в дальнейшем. И, как мне кажется, причина в том, что у меня нет адекватного представления, что же происходит при задействовании ординалов. А без этого очень сложно получать новые результаты.

g______d в сообщении #707736 писал(а):

По поводу того, где это встречается "в реальной жизни": я недавно посмотрел эту лекцию,

http://www.lektorium.tv/lecture/?id=14293

очень познавательно. Наверняка есть еще хорошие примеры.

По ссылке лекция по курсу "Группы и теория гомотопий". Это точно то, о чем шла речь?

[Aritaborian]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #707736 писал(а):

http://www.lektorium.tv/lecture/?id=14293

Побольше бы таких преподавателей. Он бесподобен. Ах, «запредельная алгебра»! Как звучит...

[Doil-byle]

_hum_ в сообщении #707895 писал(а):

Так а в чем суть процедуры счета? В быту она наиболее часто встречается как процедура, позволяющая узнать число элементов множества, а именно, чтобы узнать мощность интересующего нас множества, можно просто брать наугад "эталонные мнжества" с известными кардинальными числами и производить проверку на равенство, а можно поступать и по-другому - брать не наугад, а в порядке, в котором вкладываются друг в друга эталонные кардиналы: $1 \subset 2 \subset 3 \subset$.... Последнее и есть (в моем понимании) "перечисление множества по порядку". Но здесь не видно ключевой роли "порядковости" - наоборот, на первом месте кардинальные числа.

Порядковость примерно здесь же, что видно при построении порядка на порядковых числах: $a<b \Leftrightarrow a \in b$, ну и, соответственно, $1 \in 2 \in 3 \in ...$ $\mathbb{N} \in $...

(Оффтоп)

А Роман Михайлов интересный человек, да...

[AGu]

_hum_ в сообщении #707895 писал(а):

Так а в чем суть процедуры счета? В быту она наиболее часто встречается как процедура, позволяющая узнать число элементов множества

За «число элементов» (точнее, мощность) отвечают кардиналы, а не ординалы. Ординалы же соответствуют расположению элементов множества «по порядку», в линеечку друг за дружкой. При этом (что важно) элементы перечисляются не абы как, а так, что для любого свойства элементов есть тот момент счета, когда был перечислен первый из элементов с данным свойством. (Эта фича называется вполне упорядочением.)

_hum_ в сообщении #707895 писал(а):

брать не наугад, а в порядке, в котором вкладываются друг в друга эталонные кардиналы: $1 \subset 2 \subset 3 \subset$.... Последнее и есть (в моем понимании) "перечисление множества по порядку".

Не-не. На множестве изначально нет никакого порядка. Множество — оно абстрактное, любое, бесструктурное. Его элементы можно перечислить (т.е. вполне упорядочить) массой способов. И все эти способы равноценны, все они «правильные». Порядок перечисления никак не учитывает устройство перечисляемого множества и ему глубоко наплевать на то, какие объекты перечисляются. Важно лишь то, что они выстраиваются в линейку и что всегда можно указать «первый» из перечисляемых элементов, обладающих каким-либо интересующим нас свойством.

_hum_ в сообщении #707895 писал(а):

Но здесь не видно ключевой роли "порядковости" - наоборот, на первом месте кардинальные числа.

Тот факт, что ординалы $0,1,2,\dots,\omega$ являются еще и кардиналами, — своего рода «случайность». Так получилось — и все тут. Вслед за $\omega$ идет череда (счетных) ординалов, которые не являются кардиналами, и очередной кардинал $\omega_1$ (он же $\aleph_1$) появляется весьма «нескоро» — после всех этих $n\omega$, $\omega^n$, $\omega^{\omega^\omega}$.

_hum_ в сообщении #707895 писал(а):

Потому и непонятна суть "продолжения" - ведь при этом происходит полный отрыв одних чисел от других, и аналогия с "подсчетом" полностью теряется.

А аналогии с подсчетом (в смысле определения количества) и не должно быть. Ординалы отвечают не за подсчет (количество, cardinality), а за упорядочение (порядок, order). Поэтому вместо «подсчет» лучше говорить «перечисление».

_hum_ в сообщении #707895 писал(а):

Вот мне и кажется, что суть все-таки кроется в том, что в конечном случае при подсчете по порядку мы дополнительно как бы устанавливаем внутреннюю структуру множества - из каких подмножеств оно состоит, и как они подчинены друг другу отношением включения

Ничего подобного! Мы тупо перечисляем элементы множества, полностью игнорируя его структуру. Мы даже не знаем, на каком ординале закончится перечисление. Перечисление любого счетного множества может завершиться на любом счетном ординале — если повезет, в момент $\omega$ все элементы будут перечислены, а может оказаться и так, что в момент $\omega^{\omega^{\omega^\omega}}$ все еще будут оставаться неперечисленные элементы.

_hum_ в сообщении #707895 писал(а):

фактически ординал предстает "эталоном" множества, имеющего заданную структуру соподчиненности (все его транзитивные подмножества - это не что иное как "его составляющие кирпичики"). Нет?

Нет. Ординал — это не эталон множества и не эталон структуры множества. Если это и эталон, то всего лишь вполне упорядоченного множества, т.е. множества, снабженного бинарным отношением с определенными свойствами. Далеко не каждое множество «по свой природе» наделено таким отношением и далеко не всегда такое отношение можно каким-то естественным способом определить. В рамках ZFC всякое множество поддается вполне упорядочению, но среди различных способов упорядочения не всегда есть какой-то предпочтительный, и уж точно способ упорядочения никак не должен быть связан со структурой упорядочиваемого множества.

[_hum_]

Doil-byle в сообщении #708006 писал(а):

Порядковость примерно здесь же, что видно при построении порядка на порядковых числах: $a<b \Leftrightarrow a \in b$, ну и, соответственно, $1 \in 2 \in 3 \in ...$ $\mathbb{N} \in $...

Не совсем понял, какую именно мысль вы этим подчеркивали (я в курсе задания порядка через включение транзитивных множеств, но речь немножко о другом шла - почему ординалы были определены именно таким образом).


AGu
На всякий случай, я в курсе отличий кардиналов от ординалов и способа определения последних через классы эквивалентности вполне упорядоченных множеств. Здесь речь о другом, я хочу понять идею, на основе которой было проведено расширение понятия порядкового числа. Вот, например, с кардинальными числами - решили обобщить понятие "число элементов" на бесконечные множества. Для этого просто выбрали удобную для обобщения и очевидную для конечных множеств формулировку: у множеств одинаковое число элементов, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. И все. Идея здесь полностью понятна, соответственно, суть кардинального числа тоже.

Все то же хотелось бы услышать и для ординалов - какая идея лежала в фундаменте обобщения? Но только не сухой мат. формализм, наподобие "на практике встречались множества с заданным на них отношением порядка и т.д."

Вот в своем начальном посте вы говорили о "процедуре подсчета". Да, интуитивно как-то кажется, что это "в ту степь". Но, если проанализировать, то, как я уже говорил, эта процедура по большому счету, не связана с порядковыми числами, - ее главная задача - найти количество элементов множества, то есть, кардинальное число. А счет по порядку используется только потому, что так на практике проще это сделать.

Далее, вы говорите

AGu в сообщении #708018 писал(а):

А аналогии с подсчетом (в смысле определения количества) и не должно быть. Ординалы отвечают не за подсчет (количество, cardinality), а за упорядочение (порядок, order). Поэтому вместо «подсчет» лучше говорить «перечисление».

Но и здесь "засада". Что такое перечисление? В обыденности - это алгоритмическая процедура последовательного "пробегания" элементов множества - на первом шаге выбрали один элемент, на втором шаге - другой и т.п. То есть, тут порядок задается временем (шагами). Но проблема в том, что такой подход не обобщается (по крайней мере для меня) - алгоритмы ведь могут работать только с "дискретным".

Потому вопрос остается. В принципе, он частично сводится к вопросу, что такое обычное порядковое натуральное число - почему оно возникло (наряду с количественным) и в чем его суть (в повседневной практике, не математической)?

[AGu]

_hum_ в сообщении #708112 писал(а):

почему ординалы были определены именно таким образом

Почему ординалы определяются именно как транзитивные множества транзитивных множеств? Попросту так показалось/оказалось удобным. Суть не в транзитивности. Просто традиционные аксиомы теории множеств таковы, что таким способом определенные ординалы оказались вполне упорядоченными множествами (относительно принадлежности) и всякое вполне упорядоченное множество оказалось порядково изоморфно какому-то единственному ординалу. Приятно? Приятно. Удобно? Удобно. Вот и всё, других оснований для выбора определения ординала по сути дела нет. Ординалы вполне можно было бы определить иначе. Главное — чтобы они были попарно порядково неизоморфны и с точностью до изоморфизма исчерпывали все вполне упорядоченные множества.

_hum_ в сообщении #708112 писал(а):

эта процедура по большому счету, не связана с порядковыми числами, - ее главная задача - найти количество элементов множества, то есть, кардинальное число.

Целью задачи вполне упорядочения вовсе не является поиск мощности. (Я вынужден повторяться. Простите, если делаю это напрасно из-за недопонимания сути недопонимания.) К примеру, все бесконечные счетные множества имеют одну и ту же мощность, но каждое из них может быть вполне упорядочено массой разных (попарно неизоморфных) способов и тем самым изоморфно отображено на массу различных ординалов.

_hum_ в сообщении #708112 писал(а):

Что такое перечисление? В обыденности - это алгоритмическая процедура последовательного "пробегания" элементов множества - на первом шаге выбрали один элемент, на втором шаге - другой и т.п. То есть, тут порядок задается временем (шагами). Но проблема в том, что такой подход не обобщается (по крайней мере для меня) - алгоритмы ведь могут работать только с "дискретным".

«Трансфинитное перечисление» тоже в некотором роде алгоритмично. Предположим, к примеру, что у нас есть какой-то способ каждому отличному от $X$ подмножеству $Y\subset X$ сопоставить элемент $f(Y)\in X$ такой, что $f(Y)\notin Y$. Тогда с помощью этого $f$ мы можем рекурсивно перечислить все элементы $X$. А именно, мы начинаем перечисление с элемента $x_0:=f(\varnothing)$. Имея этот стартовый элемент $x_0$, мы с его помощью определяем следующий, полагая $x_1:=f(\{x_0\})$. Далее, имея $x_0$ и $x_1$, определяем $x_2:=f(\{x_0,x_1\})$. Для каждого натурального $n$ полагаем $x_{n+1}:=f(\{x_0,\dots,x_n\})$. Пробежавшись по всем натуральным $n$, мы тем самым построили множество $X_\omega=\{x_0,x_1,x_2,\dots,x_n,x_{n+1},\dots\}$. Если $X_\omega$ все еще не равно $X$, у нас есть возможность определить «очередной» элемент, полагая $x_\omega:=f(X_\omega)$. И так далее — по трансфинитной рекурсии: для каждого ординала $\alpha$ на основе уже построенного множества $X_\alpha=\{x_\beta:\beta<\alpha\}$ мы полагаем $x_\alpha:=f(X_\alpha)$. Из мощностных соображений следует, что рано или поздно элементы $X$ будут «исчерпаны» и на очередном трансфинитном шаге $\alpha$ мы получим $X_\alpha=X$, а значит, все элементы $X$ будут «перечислены» посредством ординалов $\beta<\alpha$. Тем самым множество $X$ будет вполне упорядочено. Это и была цель. Нам вовсе не нужно было искать мощность $X$. Нам просто нужно было как-то вполне упорядочить $X$, что мы и сделали. Теперь, когда элементы $X$ вполне упорядочены, мы можем получать за счет этого какие-то бонусы. Например, мы можем доказывать какие-то свойства элементов $X$ с помощью трансфинитной индукции по «позиции» элемента и т.п. Но еще раз хочу подчеркнуть, что ни ординал $\alpha$, на котором завершилось перечисление, ни сам порядок элементов $X$ никак не связаны ни со структурой элементов $X$, ни с их взаимоотношениями. Перечисление однозначно определяется нашей функцией $f$, выбирающей «следующий» элемент за ранее выделенными. Для разных функций $f$ будут получаться разные перечисления и даже разные $\alpha$.

[Ktina]

AGu в сообщении #707660 писал(а):

... Позже всплывет $\omega^\omega$. Когда-нибудь наступит $\omega^{\omega^\omega}$. И т.д и т.д., и несть сему конца. ...

Однако, натуральным числам тоже конца несть. Но мы вообразили себе, что "прошлись" по всем натуральным.
Что мешает вообразить, будто мы "прошлись" по всем трансфинитным? Чем отмечать будем? Рюмашки-то кончились. Уж не самокруточкой ли?

[ИСН]

Они каждый раз к этому добавляют какую-то буковку и говорят: "А вот так мы назовём первый ординал после всех этих". На колу висит мочало.

[Ktina]

ИСН в сообщении #708155 писал(а):

Они каждый раз к этому добавляют какую-то буковку и говорят: "А вот так мы назовём первый ординал после всех этих". На колу висит мочало.

Буковки тоже рано или поздно закончатся. Что тогда?

[AGu]

Ktina в сообщении #708153 писал(а):

Что мешает вообразить, будто мы "прошлись" по всем трансфинитным? Чем отмечать будем? Рюмашки-то кончились. Уж не самокруточкой ли?

Вполне резонное замечание. Да, вообразить некий «проход» по всем ординалам можно, но за ним не будет стоять ничего «реального», так как совокупность всех ординалов не является множеством (точнее говоря, не существует множества, состоящего из всех ординалов). Поэтому процесс перечисления элементов чего-то «реального» (т.е. элементов какого-то множества) обязан завершиться рано или поздно (точнее, на каком-то ординале).