Вариация функции

[Sul]

Задача такая: Пусть дана непрерывная функция на отрезке, причем в каждой точке у нее существует правая производная, и эта производная ограничена. Верно ли, что тогда функция будет ограниченной вариации?

Вот если убрать непрерывность, то легко привести контрпример. Как быть с непрерывными представляется плохо...вроде бы должно быть верно... единственная идея была в том, чтобы покрыть отрезок окрестностями, в которых выполняется условие Липшица, если это можно так назвать, т.к. каждая из них будет привязана к фиксированной точке. Но если потом измельчать разбиение, полученное из концов этого конечного подпокрытия, условие уже может не выполняться, и боюсь, что доказать ограниченность вариации не получится...

[SpBTimes]

Если вы выбираете конечное подпокрытие, на каждом из которых функция удовлетворяет условию Липшица, то, присоединив к выбранному подпокрытию граничные точки, на получившимся отрезке функция будет иметь ограниченную вариацию, как бы дальше вы этот отрезок не дробили. Таких подпрокрытий (а значит и отрезков) конечное число, так что все проходит

[NyaQ]

Я где-то ошибаюсь, или $f(x)$ дифференцируема на отрезке $[-1,1]$ ?

$$ f(x)=\begin{cases} x^2 \cdot \sin(1/x),&\text{если $x \neq 0$;}\\ 0,&\text{если $x=0$;} \end{cases} $$

[Sul]

NyaQ в сообщении #707471 писал(а):

Я где-то ошибаюсь, или $f(x)$ дифференцируема на отрезке $[-1,1]$ ?

$$ f(x)=\begin{cases} x^2 \cdot \sin(x),&\text{если $x \neq 0$;}\\ 0,&\text{если $x=0$;} \end{cases} $$

Эта функция ограниченной вариации. А вот когда пытаемся пропихнуть под синус $1/x$ , то уже начнутся проблемы с условиями.

SpBTimes в сообщении #707463 писал(а):

Если вы выбираете конечное подпокрытие, на каждом из которых функция удовлетворяет условию Липшица, то, присоединив к выбранному подпокрытию граничные точки, на получившимся отрезке функция будет иметь ограниченную вариацию, как бы дальше вы этот отрезок не дробили. Таких подпрокрытий (а значит и отрезков) конечное число, так что все проходит

С моей стороны было не правильно называть это условием Липшица. Просто для каждой точки $x$ есть полуокрестность $[x, a)$ такая что для любой точки $y$ из этой полуокрестности $ |f(y)-f(x)|<K|y-x|$ . Но если мы возьмем произвольный отрезок из этой полуокрестности, разве это условие сохранится?

[NyaQ]

извиняюсь, я имел в виду $ 1/x$

[AKM]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам: запись формул:

Sul в сообщении #707475 писал(а):

Просто для каждой точки x есть полуокрестность [x, a) такая что для любого y из этой полуокрестности |f(y)-f(x)|<K|y-x|.

Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Sul]

NyaQ в сообщении #707478 писал(а):

извиняюсь, я имел в виду $ 1/x$

Подозреваю, что это будет все же функция ограниченной вариации.

[SpBTimes]

$|f(y_1) - f(y_2)| = |f(y_1) - f(x) + f(x) - f(y_2)| < K|x - y_1| + K|x - y_2|< ...$

[devgen]

Непрерывная функция же всегда равномерно непрерывна на отрезке?

[SpBTimes]

devgen

да

[devgen]

SpBTimes
А зачем тогда здесь производная? Липшицевость, по-моему, более мощное свойство. Любая непрерывная функция на отрезке имеет ограниченную вариацию, даже не дифференцируемая. Даже можно просто вспомнить теорему Вейерштрасса.

[Sul]

devgen в сообщении #707554 писал(а):

SpBTimes
А зачем тогда здесь производная? Липшицевость, по-моему, более мощное свойство. Любая непрерывная функция на отрезке имеет ограниченную вариацию, даже не дифференцируемая. Даже можно просто вспомнить теорему Вейерштрасса.

Ну это не так, например функция $x\cdot\sin(1/x)$ доопределенная нулем в нуле, имеет неограниченную вариацию на $[0, 1]$

[devgen]

Sul
Да, я не прав. Ограниченность производной не даёт "скакать" функции сколь угодно часто.

[Sul]

SpBTimes в сообщении #707529 писал(а):

$|f(y_1) - f(y_2)| = |f(y_1) - f(x) + f(x) - f(y_2)| < K|x - y_1| + K|x - y_2|< ...$

Похоже этого все-таки недостаточно... даже если рассматривать отдельно каждый отрезок разбиения, на котором выполняется это условие, то при измельчении наше ограничение на сумму, хоть и есть, но возрастает, и предел не обязан быть конечным...