Ферматики докажите, что (k+1)^3=k^3 +y^3 не имеет решений

[Belfegor]

kvistor в сообщении #609132 писал(а):

Наоборот, я показывал, что для $y^3$ выполняется другое равенство: $y^3= y+3(S_1+S_2)$. Сколько бы Вы ни делали расчетов по предложенному автором темы уравнению $y^3=(k+1)^3-k^3$, а $y$ у Вас будет дробным числом.

Уважаемый kvistor! Не согласен с вами. Из вашего доказательства не следует дробности y. Более того просмотрите ещё раз внимательнее мою подстановку с вашими данными. Она четко показывает извечный замкнутый круг. Сколько не подставляй, не заменяй, а всё равно приходишь к одному и тому же выражению $y^3=(k+1)^3-k^3$. Потому что все ухищрения не дают главного, они не могут показать что члены этого уравнения - целые числа. . Поэтому и ваша идея с прогрессиями так же вернулась к исходному уравнению. Не уподобляйтесь некоторым ферматам, которые в упор не хотят признавать очевидных истин. Например, что формулы и идеи , которые они лелеют, просто переливание из пустого в порожнее.
Вот, так на мой взгляд, должно выглядеть доказательство, где очевидно вылезает целость числа:

$X^k = 2n + 1$

Видите $2n + 1$ - натуральное число, это железно

И дальше

$\begin{array}{l} X^k = 1(n + 1 + n) = \\ \\ ((n + 1) - n)((n + 1) + n) = (n + 1)^2 - n^2 \\ \\ X^k =(n + 1)^2 - n^2 \\ \end{array}$
Вот и для кубов и выше надо что-нибудь подобное

[kvistor]

Уважаемый Belfegor!
Предлагаю Вашему вниманию следующее преобразование: допустим, что все-таки выполняется равенство: $y^3=y+3(S_1+S_2)=1+6S$. Тогда можно записать:
$y^3=y+3(S_1+S_2)-6S=y+3(S_1+S_2-2S)=1$.
Отсюда: $y^3=-(y-1)$.
Что Вы на это скажете?
Кстати: здесь на форуме я видел доказательство, из которого следовало, что любое число в любой степени равно разности квадратов одной пары или нескольких пар целых чисел:
$a^n=b^2-c^2$

[chudov]

kvistor`у
"...поскольку нельзя преобразовать..."
Так ведь и требуется доказать что нельзя преобразовать! Что они не совпадают ни в одной точке.

$(n-1)n(n+1)+n\ne3(m^2+m)+1$

[alix]

говорят втф не доказуема и правда если доказать то бабло ктота там даст ????

[Someone]

Неправда. Теорема Ферма доказана Уайлсом в 1994 году, а "бабла" никакого нет, потому что премия в 100000 немецких марок, учреждённая Вольфскелем в 1908 году, полностью обесценилась после первой мировой войны. Так что не парьтесь.

[chudov]

Доказательство Уайлса - весь современный арсенал теории чисел, сотни страниц. А мы ищем элементарное доказательство, понятное самому Ферма. А вообще-то, играем в бисер, по г.гессе. Увлекательно и безобидно. Лучше, чем подыхать от скуки у ТВ или сосать бутылку. А для таких, как я, ещё и профилактика Альцгеймера. Причём тут бабло?!

[Someone]

(chudov)

Человек спросил, я ответил. Какие претензии?

[alexo2]

Думаю, правильнее "реанимировать" данную тему, хотя есть и своя похожая, так как в итоге полученное уравнение вида:
$3a^2+1=4b^3$
ранее и довольно подробно исследовалось именно здесь.
Если учитывать, что для предполагаемого выполнения в натуральных числах
$(x+1)^3-x^3=y^3$ (1) ,
$y$ обязательно должно быть вида $6k+1$, и, используя мультипликативность, умножив обе части (1) на 8, получим для левой части следующее всегда верное соотношение:
$(6n+2)^3-(6n)^3=2+6(6n+1)^2$ (2)
При этом, для правой части (1) будет всегда справедливо:
$(6m+2)^3=2+6(4(3m+1)^3-1)/3$ (3)
Приравняв правые части (2) и (3) и преобразуя, приходим к:
$3(6n+1)^2+1=4(3m+1)^3$ (4)

[markopol]

Господа,
обращаю ваше внимание, что уравнение
$(k+1)^3=k^3+y^3$ (1)
равносильно уравнению:
$y^3=6(1+2+3+...+k)+1$ (2)
где в скобках сумма арифметической прогрессии.
Если уравнение (2) имеет решение в целых числах, то и уравнение (1)
также имеет, а если нет, то значит нет.

[chudov]

markopol!
$6(1+2+3+...+k)=3(k^2+k)+1

[Belfegor]

markopol в сообщении #707290 писал(а):

Если уравнение (2) имеет решение в целых числах, то и уравнение (1)
также имеет, а если нет, то значит нет.

Уважаемый markopol! Поясните!

[Panteleev]

Запишем формулу более привычным способом:
$(x+1)^3-x^3=y^3$,
где $x$ -переменная величина.
Понятно, что $y<x$
Пусть $y=x-a$
Тогда:
$(x+1)^3-x^3=(x-a)^3$
Раскрывши биномы и произведя преобразования, получим:
$3x^2+3x+1=x^3-3ax^2+3a^2x-a^3$.
Является ли эта формула равенством, т. е. равен ли многочлен
слева знака равенства многочлену справа?
Из теоремы о равенстве многочленов следует: два многочлена равны тогда и только тогда, когда их степени равны и их коэффициенты при одинаковых степенях переменной совпадают.
Анализ показывает, что:
1.Степени многочленов не равны.
2.Коэффициенты при одинаковых степенях переменной не совпадают:
$3\ne3a; 3\ne3a^2$
3. Кроме того:
$1\ne(a^3)$
Следовательно, многочлены не равны, т.е. исходная формула не является равенством. Таким образом, это уравнение не имеет решения в целых числах.

[nnosipov]

Panteleev в сообщении #722366 писал(а):

Таким образом, это уравнение не имеет решения в целых числах.

Вывод не обоснован. Не равные друг другу многочлены от $x$ вполне могут принимать равные значения при некоторых значениях переменной $x$.

[alexo2]

nnosipov в сообщении #722373 писал(а):

Panteleev в сообщении #722366 писал(а):

Таким образом, это уравнение не имеет решения в целых числах.

Вывод не обоснован. Не равные друг другу многочлены от $x$ вполне могут принимать равные значения при некоторых значениях переменной $x$.

Ага, и на "другом" форуме я ему уже приводил даже контрпримеры, однако, бесполезно - это же известный персонаж под новым ником...

(Оффтоп)

Уважаемые участники форума! Я помню прекрасно о своих "должках". У меня накопилось несколько интересных "побочных" результатов, сейчас пробую сложить их в единую "картинку". В ближайшее же время, если с общей картинкой ничего не получится - опубликую отдельные результаты..

[Panteleev]

nnosipov,
теорема о тождестве многочленов одна из основных теорем математики,
на которой строятся конкретные расчеты. Вы хотите ее опровергнуть - приведите пример. При этом не отвлеченный искусственно составленный пример, а пример равенства многочленов, которые являются результатом преобразования одного и того же исходного уравнения. В рассматриваемом случае преобразования уравнения теоремы Ферма.

К сведению некоторых: разница между "контраргументом" и "контрпримером" большая разницы между Буэнос-Айресом и Лиссабоном, хотя и в том и в другом случае слова звучат примерно одинаково.