Помогите решить уравнение плиз

[Евгеша]

$$\sqrt{\frac{x^2-3x+2}{x^2+2x}}=x+1$$

Заранее спасибо

[незваный гость]

Во-первых, уравнение несколько упростится, если заменить $x+1 \to y$. Если после этого возвести в квадрат (помня требование, что $y \geq 0$), то получается уравнение 4-ой степени. К счастью, оно разлагается на «хорошие» квадратные множители: $(y^2-y+2)(y^2+y-3)$.

[Евгеша]

незваный гость
Благодаррю за помощь, только один вопросик:
Как ты его на множители разложил? Заметил или теорема есть какая-нибудь?

[незваный гость]

Есть методы… методы подбора.

Пусть $p(y) = (a_1 y^2 + b_1 y + c_1)(a_2 y^2 + b_2 y + c_2)$. Тогда, очевидно, $a_i$ делят старший коэффициент $p(y)$, а $c_i$ — свободный член. В нашем случае, все еще проще: старший коэффициент равен 1, коэффициент при кубе — 0. Поэтому ищем в виде $(y^2 + b y + c_1)(y^2 - b y + c_2)$, на $c_1$ не так уж много кандидатов: $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 6$.

[Евгеша]

Теперь всё понятно. Ещё раз спасибо.

[RIP]

В данном случае можно и вот так. Если обозначить $u=x^2+2x$, $v=x-2$, то

$$(x+1)^2(x^2+2x)-(x^2-3x+2)=u(u+1)-v(v+1)=(u-v)(u+v+1).$$