Что означают эти меры?

[fedornovikov]

Пытаюсь разобраться в статье. Но моих знаний явно не хватает.

Пусть $S^0$ семимартингал с разложением

$$S^0_t = S_0 + M_t + A_t$$

где $S_0$ константа, $M$ квадратично интегрируемый cadlag мартингал с $M_0=0$ и $A$ адаптированный процесс с $A_0=0$ и квадратично интегрируемой полной вариацией (т.е. снос).

Пусть процесс $A$ не $\mathbb{P}$ наверняка абсолютно непрерывен.

Определим две конечные меры $Q$ и $Q^A$ через:

$$\int f dQ=\int\int_{[0,T)}f(t,\omega)dt\mathbb{P}(d\omega)$$

$$\int f dQ^A=\int\int_{[0,T)}f(t,\omega)dA_t(w)\mathbb{P}(d\omega)$$

Что означают эти меры? особенно $Q^A$, какая ее связь с $A$? Может кто-нибудь подсказать интуитивное толкование?

[fedornovikov]

В статье эти меры используются следующим образом:

Цитата:

Так как A не абсолютно непрерывный процесс, существует измеримая функция $\psi \geq 0$ на $[0,T) \times \Omega$, такая что $\int\psi dQ=0$ и $\int\psi dQ^A=1$

Может это поможет поянть, что происходит...

[Henrylee]

Ну давайте возьмем в качестве случайной функции $f$ индикатор:

$$ f(t,\omega)=\mathbb{I}_{[s,u]\times C}(t,\omega), $$

где $0\le s<u<T,\quad C\in\mathcal{F}$- $\sigma$-алгебра событий.
Подставляя в выражения для мер, получим

$$ Q([s,u]\times C)=(u-s)\Prob(C) $$

$$ Q^A([s,u]\times C)=\int\limits_C\left(A_u-A_s\right)\Prob(d\omega) $$

Очевидно, речь идет о продолжениях этих мер на $\sigma$-алгебру $\mathcal{B}\left([0,T]\right)\otimes\mathcal{F}$