Уравнение в натуральных числах, помогите разобраться

[Ktina]

$$7^x-3\cdot 2^y=1$$

У меня какая-то каша получилась (правда, вкусная):
Если $y\ge 5$, то $3\cdot 2^y$ делится на 96.
Остатки, даваемые степенями семёрки при делении на 96 выглядят так: 7, 49, 55, 1 и повторяются с периодом 4.
Отсюда следует, что если $y\ge 5$, то наш $x$ должен делиться на 4.
Но тогда $3\cdot 2^y$ должно оканчиваться нулём, что невозможно!
Осталось проверить вручную все $1\le y\le 4$, откуда получаем ровно два решения: $(1, 1)$ и $(2, 4)$.

Вот что не так?
Почему в книге решение почти на целую страницу?
Неужто не просекли этот момент с остатками на 96?
Или я чего-то недоглядела?

Источник задачи: Всесоюзка, 1990г, IV этап, 11 класс, второй день, задача № 1.

[nnosipov]

Ktina в сообщении #706518 писал(а):

Вот что не так?

Всё так. Немного повезло, что период короткий оказался. А как в книге рассуждают (нет под рукой, чтобы посмотреть)?

[Ktina]

nnosipov,
Сейчас перепишу решение из книги.

-- 06.04.2013, 13:06 --

Данное в условии задачи уравнение равносильно уравнению

$$\frac{7^x-1}{7-1}=2^{y-1}$$

или

$$7^{x-1}+7^{x-2}+\dots +7+1=2^{y-1} \quad (1)$$

Отсюда вытекает, что $y\ge 1$ (Какого лешего это нужно, если в задаче изначально требуется решить в натуральных? --- прим. ред.).
Пара (1, 1) является решением уравнения (1).

Если $y>1$, то справа в (1) стоит чётное число, а слева --- сумма нечётных чисел в количестве $x$. Следовательно, $x$ --- чётное число. Но в этом случае уравнение (1) можно записать в виде

$$(7+1)(7^{x-2}+7^{x-4}+\dots +7^2+1)=2^{y-1}$$

или

$$7^{x-2}+7^{x-4}+\dots +7^2+1=2^{y-4}\quad (2)$$

Отсюда вытекает (Они уже во второй раз пишут "отсюда вытекает", у меня уже мозги вытекают --- прим. ред.), что $y\ge 4$. Пара (2, 4) является решением уравнения (2).

При $y>4$ справа в (2) стоит чётное число, а слева --- сумма нечётных чисел в количестве $\frac{x}{2}$.
Следовательно, $\frac{x}{2}$ --- чётное число, т. е. число $x$ делится на 4. Но в этом случае уравнение (2)
можно записать в виде

$$(7^2+1)(7^{x-4}+7^{x-8}+\dots +7^4+1)=2^{y-4} \quad (3)$$

Левая часть этого уравнения делится на 5, а правая часть --- нет.
Следовательно, уравнение (3) при $y>4$ не имеет решений в натуральных числах.
То же самое утверждение имеет место, очевидно, и для уравнения (2) и для уравнения, данного в условии задачи.

Итак, единственными решениями данного уравнения в натуральных числах являются пары (1, 1) и (2, 4).

[nnosipov]

Спасибо. Да, идея та же, но реализация явно длиннее. Может, тогда такие уравнения ещё в новинку были. Сейчас все уже привыкли к этому типу уравнений, и все понимают, что надо просто искать подходящий модуль.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #706533 писал(а):

Спасибо. Да, идея та же, но реализация явно длиннее. Может, тогда такие уравнения ещё в новинку были. Сейчас все уже привыкли к этому типу уравнений, и все понимают, что надо просто искать подходящий модуль.

Это Вам спасибо!

[Батороев]

При $y=1$ имеем одно решение.
При $y>1$, рассматривая по основанию $4$, имеем $x$ - четное число, следовательно, в левой части уравнения:

$$7^x-1=3\cdot 2^y$$

разность квадрата и единицы, что предполагает наличие в правой части уравнения множителей, отличающихся друг от друга на $2$:

$$3\cdot 2^k-2^l=\pm 2$$

где $k+l=y$.

$$3\cdot 2^{k-1}-2^{l-1}=\pm 1$$

Откуда либо $k=1; l=2$, либо $k=1;l=3$.
После подстановки полученных решений в исходное уравнение одно "отбраковываем".

[Deggial]

Обсуждение уравнения $\dfrac{q^m-1}{q-1}=p^n$ отделено в новую тему Уравнение в простых числах