Лагранжева механика, Уравнения связи

[ИгорЪ]

(Оффтоп)

У меня машина дров ждет колоть, а вы меня публично варьировать призываете... Чуть позже.

[ИгорЪ]

Я напишу для неполевой версии Рубакова

$L=\dot{x_i}^2/2 + \lambda(x_i^2-1)/2 \lambda x_i=\ddot {x}_i \lambda=(x_i,\ddot{x_i}) (x_i,\ddot{x_i})x_j=\ddot{x_j}$
Так получено УД в Рубакове.

Теперь будем выражение для связи подставлять в лагранжиан, а не в первое уравнение, поскольку
уважаемый myhand просит показать, что получится тоже самое УД. Хотя по-моему это очевидно.

$L=\dot{x_i}^2/2 + (x_i,\ddot{x_i})(x_i^2-1)/2$
В лагранжиан с второй производной в урвнениях Э-Л добавляется член
$\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}+\frac{d^2}{dt^2} \frac{\partial L}{\partial \ddot{x}} = 0$
Подставляя сюда наш "высший лагранжиан и учитывая связь$x^2=1$ и её производные получим

$(x_i,\ddot{x_i})x_j=\ddot{x_j}$

[myhand]

ИгорЪ в сообщении #701641 писал(а):

Я напишу для неполевой версии Рубакова

$L=\dot{x_i}^2/2 + \lambda(x_i^2-1)/2 \lambda x_i=\ddot {x}_i \lambda=(x_i,\ddot{x_i}) (x_i,\ddot{x_i})x_j=\ddot{x_j}$
Так получено УД в Рубакове.

Здесь разумные действия заканчиваются. Подразумеваю далее, что я правильно "восстановил" необходимые пропущенные суммирования. Т.е. на самом деле: L=$\sim_i\dot{x_i}^2/2 + \lambda\left(\left(\sum_i x_i^2\right)-1\right)/2$.

ИгорЪ в сообщении #701641 писал(а):

Теперь будем выражение для связи подставлять в лагранжиан, а не в первое уравнение, поскольку уважаемый myhand просит показать, что получится тоже самое УД. Хотя по-моему это очевидно.

Это не только "не очевидно" - но очевидно и банально неверно. Вот кому клизма-то нужна...

Во-первых:

ИгорЪ в сообщении #701641 писал(а):

$L=\dot{x_i}^2/2 + (x_i,\ddot{x_i})(x_i^2-1)/2$

- а с чего-ж вы дальше не использовали связь снова. Могли-б сразу второй член занулить Осмысленность действий не пострадала бы...

Во-вторых:

ИгорЪ в сообщении #701641 писал(а):

В лагранжиан с второй производной в урвнениях Э-Л добавляется член
$\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}+\frac{d^2}{dt^2} \frac{\partial L}{\partial \ddot{x}} = 0$
Подставляя сюда наш "высший лагранжиан и учитывая связь$x^2=1$ и её производные получим

Ничего мы покуда не "получим". Сперва объясните из какой валшебной коробки вы теперь достали "связь" чтобы ее ничтоже сумняшеся потом учитывать. У вас теперь только уравнения Э-Л с высшими производными. Так что уж потрудитесь выписать что получится без учета отсутствующих связей.

[ИгорЪ]

myhand
Вы не привели ни одного фактического довода, одни эмоции и невежливость.
Напомню, что связь можно занулять в уравнениях движения, но нельзя в лагранжиане.

[myhand]

ИгорЪ в сообщении #701797 писал(а):

Вы не привели ни одного фактического довода

Ровно целых два. Не нравится "невежливость" - в следующий раз думайте, перед тем, как городить подобные нелепости. Здесь, надеюсь, не пансион благородных девиц.

ИгорЪ в сообщении #701797 писал(а):

Напомню, что связь можно занулять в уравнениях движения, но нельзя в лагранжиане.

Память вас, мягко говоря, "подводит".

В новом лагранжиане - неоткуда связи взяться. Варьируете его - получаете уравнение с $\frac{d^2}{dt^2} \frac{\partial L}{\partial \ddot{x}}$. А связь вы дальше пока высосали из пальца.

[myhand]

(Оффтоп)

ИгорЪ, я так понимаю - с выводом полного уравнения застряли на "колке дров"? Собираетесь это таки проделать - или мне это сделать за вас?

[ИгорЪ]

Да, пока занят, но спасибо за первое конструктивное замечание, действительно, вы правы, надо посчитать гессианы, дабы проверить осталась ли первоначальная связь в новом лагранжиане. Есть два пути, либо, исключив вторую, понизить до первой производной, это возможно, но громоздкий лагранжиан будет, либо найти как определяют связи для лагранжианов с высшими производными - есть видимо "высшие гессианы".

[ИгорЪ]

Новый лагранжиан с второй производной имеет тождественно нулевой гессиан, т.е. связи присутствуют, но как их найти я пока не знаю. Без их учета, уравнения , конечно не совпадают. Надо подумать.

[ИгорЪ]

С гессианами пока никак, но лагранжиан частицы на сфере, записанный с множителем лагранжа
$L=\dot{x_i}^2/2 + \lambda(x_i^2-1)/2$
и его УД1
$\lambda x_i=\ddot {x}_i, x_i^{2}-1=0 $
не эквивалентен лагранжиану и его УД2
$L=\dot{x_i}^2/2 + (x_i,\ddot{x_i})(x_i^2-1)/2$, полученному подстановкой $\lambda=(x_i,\ddot{x_i})$ , найденой из УД1. Чтобы показать это, можно, например, тупо решить оба набора УД для двумерного случая в полярных координатах.
Однако, может ли кто объяснить, чем описанная выше подстановка, хуже подстановки в 1 томе Грина, Шварца, Виттена, Теории суперструн стр.74, (1990), где один лагранжиан переходит в другой, после подстановки в него выражения для $e$, взятого из начальных УД.
$ L=1/2(e^{-1}\dot{x}^2+e), \dot{x}^2+e^2=0 \to L=-\sqrt{-\dot{x}}$

[myhand]

ИгорЪ в сообщении #704200 писал(а):

Однако, может ли кто объяснить, чем описанная выше подстановка, хуже подстановки в 1 томе Грина, Шварца, Виттена, Теории суперструн стр.74, (1990)

Думаю, там просто "повезло", вот и все.

Отвлекитесь от частных примеров, попробуйте обосновать вашу "подстановку" хоть в случае $L=L(x,\dot x, e)$ (где $x$ и $е$ - ваши обобщенные координаты).

[ИгорЪ]

Ошибку дает, не могу понять , что вы предлагаете.

[myhand]

ИгорЪ в сообщении #705647 писал(а):

Ошибку дает

Кто дает, кому дает?

ИгорЪ в сообщении #705647 писал(а):

что вы предлагаете

1) получить уравнения лагранжа для $L=L(x,\dot x, y)$.
2) выразить $y$ через $x$ и $\dot x$
3) подставить этот $y$ в действие
4) получить новые уравнения лагранжа
5) показать эквивалентность 4) и 1)

[ИгорЪ]

myhand
Невыполнимая программа, явно не выразишь $y$ в общем случае. Да и так ясно уже, что эквивалентности не будет, но в версию "повезло" с эквивалентностью двух лагранжианов релятивистской частицы
$ L=1/2(e^{-1}\dot{x}^2+e), \dot{x}^2+e^2=0 \to L=-\sqrt{-\dot{x}}$
я не верю. Должно быть объяснение причины такого везения.

[myhand]

ИгорЪ в сообщении #706124 писал(а):

myhand
Невыполнимая программа

Да, для студента-недоучки - возможно.

Но всех остальных ваша "явная невыразимость" пугать не должна. Вы не умеете дифференцировать неявно заданную функцию?! Добро пожаловать на первый курс, это проходят там.

ИгорЪ в сообщении #706124 писал(а):

Должно быть объяснение причины такого везения.

Какого рода "объяснение" способно устроить вас в принципе?!

[ИгорЪ]

myhand в сообщении #706150 писал(а):

Но всех остальных ваша "явная невыразимость" пугать не должна.

Будьте любезны, покажите мне дураку, если можно, все пять пунктов.

myhand в сообщении #706150 писал(а):

Какого рода "объяснение" способно устроить вас в принципе?!

Хоть какое, но только без слова "повезло" .