Разность времён

[zels]

Интересно, что ТС хочет - найти причину отклонения в 1,73 раза или разбираться с членами порядка Мтела/Мземли, что ничтожно мало (если тело не Луна)?

[Alexey96]

zels, я уже во всем разобрался, спасибо.
Я прошу ответить на мой последний вопрос и всё. Вопрос, конечно же - не по теме, но тем не менее - зачем создавать новую ветку.

Цитата:

Правильно ли я понял, что получая решение в задаче двух тел для $\vec{r}$ - вектора взаимного расстояния (между двумя телами массой $m_{1}$ и $m_{2}$ ) в виде: $\vec{r}=\dfrac{p}{1+e\cos{\varphi}}$ нужно для первого тела умножить это выражение на $\dfrac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ и получить параметрическую зависимость радиус вектора $\vec{r_{1}}$ , проведённого из центра масс системы до первого тела, от угла его поворота?

Либо же $\vec{r_{1}}$ определяется уравнением:

$$\ddot{\vec{r_{1}}}=-\dfrac{Gm_{2}^{3}}{(m_{1}+m_{2})^{2}} \dfrac{\vec{r_{1}}}{r_{1}^{3}}$$

?
Или же просто, получив ту же самую зависимость: $\vec{r_{1}}=\dfrac{p_{1}}{1+e_{1}\cos{\varphi}}$ , где $уe_{1};p_{1}$ получаются заменой всех значений $G(m_{1}+m_{2})$ (как в случае для $r$) на выражение $\dfrac{Gm_{2}^{3}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}$ ?
Помогите разобраться в этом. А то я что-то во всём запутался уже.
Всем заранее спасибо за подробные пояснения.

[Munin]

Alexey96 в сообщении #705527 писал(а):

Munin, будьте добры, разъясните мне пожалуйста, а то, я что-то совсем никак не могу разобраться:
Правильно ли я понял, что получая решение в задаче двух тел для $\vec{r}$ - вектора взаимного расстояния ( между двумя телами массой $m_{1}$ и $m_{2}$ )в виде:$\vec{r}=\dfrac{p}{1+e\cos{\varphi}}$ нужно для первого тела умножить это выражение на $\dfrac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ и получить параметрическую зависимость радиус вектора, проведённого из центра масс системы до первого тела, от угла его поворота?

Да.

-- 04.04.2013 16:54:16 --

Alexey96 в сообщении #705606 писал(а):

Либо же $\vec{r_{1}}$ определяется уравнением:

$$\ddot{\vec{r_{1}}}=-\dfrac{Gm_{2}^{3}}{(m_{1}+m_{2})^{2}} \dfrac{\vec{r_{1}}}{r_{1}^{3}}$$

?

$\vec{r\!}\,_{1}$ определяется уравнением:

$$\ddot{\vec{r\!}}\,_{1}=\dfrac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\ddot{\vec{r\!}}\,=\dfrac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,\,\dfrac{-Gm_{1}m_{2}}{\,\,\,\,\dfrac{\mathstrut m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,\,\,\,}\dfrac{\vec{r\!}\,}{r^{3}}=\dfrac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,\,\dfrac{-Gm_{1}m_{2}}{\,\,\,\,\dfrac{\mathstrut m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,\,\,\,}\,\,\dfrac{m_{2}^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}\dfrac{\vec{r\!}\,_{1}}{r_{1}^{3}}=-\dfrac{Gm_{2}^{3}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}\dfrac{\vec{r\!}\,_{1}}{r_{1}^{3}},$$

так что да. И то, и другое верно.

[Alexey96]

То есть окончательно, в значениях $e$ и $p$ нужно писать $\dfrac{Gm_{2}^{3}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}$ а не что-либо иное,верно?
То есть я правильно понимаю, как написано в I томе ЛЛ:

$$p_{1}=\dfrac{M_{1}^{2}(m_{1}+m_{2})^{2} }{Gm_{2}^{3} \alpha}$$

где $\alpha=Gm_{1}m_{2}$? Или же $\alpha=\dfrac{Gm_{1}m_{2}^{3}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}$?

[Munin]

Это вообще-то константы интегрирования. Как их переводить от приведённой системы к исходной - навскидку не знаю, смотреть надо. Через соотношение между радиус-векторами, очевидно. Но в уме вычислить и выдать результат я вам не могу.

$e$ - это эксцентриситет? Тогда он попросту совпадает.

[Alexey96]

Да,Munin, $e$ - это эксцентриситет орбиты какого-либо из тел относительно их центра масс.
Если

$$\ddot{\vec{r_{1}}}=-\dfrac{Gm_{2}^{3}}{(m_{1}+m_{2})^{2}} \dfrac{\vec{r_{1}}}{r_{1}^{3}}$$

В ЛЛ $$\alpha $ определено через $U(r)=-\dfrac{\alpha}{r}$ , то есть в нашем случае :

$$F_{1}=\dfrac{Gm_{1}m_{2}^{3}\vec{r_{1}}}{(m_{1}+m_{2})^{2}r_{1}^{3}} \Rightarrow U=\dfrac{dF_{1}}{dr_{1}} =-\dfrac{Gm_{1}m_{2}^{3}}{(m_{1}+m_{2})^{2}r_{1}}$$

Отсюда:

$$\alpha=\dfrac{Gm_{1}m_{2}^{3}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}$$

Верно?

Munin в сообщении #705670 писал(а):

Но в уме вычислить и выдать результат я вам не могу.

Буду очень рад любой помощи.

[Munin]

Да ладно, у вас у самого всё правильно получается.

[Alexey96]

Munin, простите конечно же за чрезмерную настойчивость, но я не в силах побороть свою эту "тягу к полному понимаю".
Помогите

[Munin]

Alexey96 в сообщении #705672 писал(а):

В ЛЛ $$\alpha $ определено через $U(r)=-\dfrac{\alpha}{r}$ , то есть в нашем случае :

$$F_{1}=\dfrac{Gm_{1}m_{2}^{3}\vec{r_{1}}}{(m_{1}+m_{2})^{2}r_{1}^{3}} \Rightarrow U=\dfrac{dF_{1}}{dr_{1}} =-\dfrac{Gm_{1}m_{2}^{3}}{(m_{1}+m_{2})^{2}r_{1}}$$

Отсюда:

$$\alpha=\dfrac{Gm_{1}m_{2}^{3}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}$$

Верно?

Нет, в ЛЛ-1 $\alpha$ определено через $U(|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|)$ (13.1), а значит, там обычный коэффициент $Gm_1m_2$ для закона тяготения между двумя телами.

-- 04.04.2013 18:02:50 --

Alexey96 в сообщении #705682 писал(а):

Munin, простите конечно же за чрезмерную настойчивость, но я не в силах побороть свою эту "тягу к полному понимаю".
Помогите

Да я не призываю её побороть! Всё замечательно! Просто вы можете уже шагать самостоятельно, без опоры и оглядки на помощь других. Просто проверяйте сами себя и проделывайте логические шаги и выкладки заново, если есть ошибка.

[Alexey96]

Спасибо.А как тогда всё же быть с остальными значениями? Если всё-таки $\alpha=Gm_{1}m_{2}$, то как быть с остальными величинами?
Имею в виду и начальный момент импульса - $M$ и т.д и т.п.. То есть сводится ли всё к тому, что все эти уравнения описывают движение материальной точки -$ m_{1}$ , массой $\dfrac{m_{2}^{3}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}$ вокруг неподвижного центра (центра масс двух тел $m_{1}$ и $m_{2}$) , в центральном поле с потенциалом $U(r)=-\dfrac{Gm_{1}m_{2}}{r}$ ?
Откуда будет следовать вывод, что просто всё, что в ЛЛ-1 (15 параграф) записано как : $m$ , следует заменить на $\dfrac{m_{2}^{3}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}$. Как и начальное расстояние в моменте импульса - станет не начальным расстоянием между двумя телами а начальным расстоянием между первым телом и центром масс?
Но вопросы по поводу $E$ - начальной полной энергии первого тела остаются: чему она будет равна?
$$E=U_{0}+\dfrac{m_{2}^{3}v_{0}^{2}}{2(m_{1}+m_{2})^{2}}$
Чему же тогда равна начальная потенциальная энергия - $U_{0} = -$\dfrac{Gm_{1}m_{2}^{3}}{(m_{1}+m_{2})^{2}l_{0}}$ ? Здесь $l_{0}$ и есть - начальное расстояние между первым телом и центром масс.
Или же $U_{0} = -$\dfrac{Gm_{1}m_{2}}{l}$, где $l$ - начальное расстояние между телами?
Спасибо Вам, Munin, за помощь.

[DimaM]

Alexey96 в сообщении #705686 писал(а):

Но вопросы по поводу $E$ - начальной полной энергии первого тела остаются: чему она будет равна?

Полная энергия относится исключительно к системе тел. Делить ее между первым и вторым неправильно.

Цитата:

Или же $U_{0} = -$\dfrac{Gm_{1}m_{2}}{l}$, где $l$ - начальное расстояние между телами?

Так верно.

[iifat]

Сколько вопросов... Сколько ж запомнить надо... А помнить-то надо всего ничего -- даже и Памятью быть не надо.
Закон Ньютона знаете?

$$\begin{cases}\ddot {r_1}=-\frac{Gm_2}{\left|r_1-r_2\right|^3}(r_1-r_2) \\ \ddot {r_2}=-\frac{Gm_1}{\left|r_1-r_2\right|^3}(r_2-r_1)\end{cases}$$

Центр масс системы

$$r_c=\frac{m_2r_1+m_1r_2}{m_1+m_2}$$

$$\ddot{r_c}=\frac{m_2\ddot{r_1}+m_1\ddot{r_2}}{m_1+m_2}=-\frac{G\frac{m_2^2-m_1^2}{m_1+m_2}}{\left|r_1-r_2\right|^3}(r_1-r_2)=-\frac{G(m_1+m_2)}{\left|r_1-r_2\right|^3}(r_1-r_2)$$

Переходим в систему центра масс:

$$r_1-r_c=\frac{m_1}{m_1+m_2}(r_1-r_2)$$

$$r_1-r_2=\frac{m_1+m_2}{m_1}(r_1-r_c)$$

Подставляем в первое уравнение:

$$\ddot{(r_1-r_c)}=-\frac{Gm_2}{\left|r_1-r_2\right|^3}(r_1-r_2)+\frac{G(m_1+m_2)}{\left|r_1-r_2\right|^3}(r_1-r_2)=-\frac{Gm_1}{\left|r_1-r_2\right|^3}(r_1-r_2)=$$

$$=-\frac{Gm_1}{\left(\frac{m_1+m_2}{m_1}\right)^3\left|r_1-r_c\right|^3}\frac{m_1+m_2}{m_1}(r_1-r_c)=-\frac{G\frac{m_1^3}{(m_1+m_2)^2}}{\left|r_1-r_c\right|^3}(r_1-r_c)$$

Вот она, приведённая масса в системе центра масс. Осталось аккуратненько -- аккуратненько! -- решить, и всё, собственно. Вместо бесконечных вопросов -- а пока руками не пощупать, конца им и не будет. Ибо понимания связей нет.

[Munin]

Alexey96 в сообщении #705686 писал(а):

Спасибо.А как тогда всё же быть с остальными значениями?

Аккуратно подставляете все переменные, константы и нач. условия дифуров через соотношения в § 13. Разве это сложно?

-- 04.04.2013 19:48:18 --

iifat в сообщении #705742 писал(а):

а пока руками не пощупать, конца им и не будет

+1. Надо книжку прочитать внимательно, и всё. Проделывая выкладки вслед за авторами. А не тыкаясь поверхностно туда-сюда, ничего не понимая, и не следуя по ссылкам на предыдущие формулы и выкладки.

[iifat]

Кстати, не подскажете, где у меня тут бред получился? Вроде ж в замкнутой системе центр масс должен двигаться равномерно, $\ddot{r_c}=0$. Пялюсь вот, а нуля не выходит...

[iifat]

А, вот он.

$$r_c=\frac{m_1r_1+m_2r_2}{m_1+m_2},\ r_1-r_c=\frac{m_2}{m_1+m_2}(r_1-r_2),\ \ddot{(r_1-r_c)}=-\frac{Gm_2\left(\frac{m_1+m_2}{m_2}\right)^2}{\left|r_1-r_c\right|^3}(r_1-r_c)=$$

$$=-\frac{G\frac{(m_1+m_2)^2}{m_2}}{\left|r_1-r_c\right|^3}(r_1-r_c)$$

Это к вопросу о самостоятельной и, главное, аккуратной работе