Вопрос про основы производных

[ult1m]

Например, точка перемещается по функции $x^2$. Производная равна $2x$. Я знаю, что производная от положения - это скорость, но что в данном случае нам говорит значение $2x$ о движении точки по функции $x^2$ ?
Я не вижу зависимости и не понимаю что можно получить, когда сравниваю значения $f(x)$ и $f'(x)$.

[Chernoknizhnik]

Как-то странно Вы выражаетесь: "точка перемещается по функции". Вы имеете в виду, по графику функции $f(x)=x^2$. В этом случае положение точки описывается двумя параметрами - абсциссой и ординатой, а $2x$ - это всего лишь проекция скорости на ось ординат.

[ИСН]

Точка перемещается не по функции, а по дороге. Моя, например - 5 км/ч. А градусов завтра обещают 8, это больше, чем 5.
Сравнил.
Есть смысл? Бред?
Ну вот примерно так же осмысленно сравнивать значения $f(x)$ и $f'(x)$.

[gris]

ТС имел в виду, что точка перемещается по закону $f(x)=x^2$. Что такое $x$ и $f$ неведомо. Может быть это время и путь, а может быть это действительно температура и высота. Смысл в том, что с математической точки зрения это всё равно. Производная более ёмкое понятие, чем скорость.

[ult1m]

Chernoknizhnik в сообщении #705561 писал(а):

Вы имеете в виду, по графику функции $f(x)=x^2$. В этом случае положение точки описывается двумя параметрами - абсциссой и ординатой,

ок, что дает скорость 2х?

Chernoknizhnik в сообщении #705561 писал(а):

, а $2x$ - это всего лишь проекция скорости на ось ординат.

не понял, это же наклон касательной?

ИСН в сообщении #705562 писал(а):

Точка перемещается не по функции, а по дороге. Моя, например - 5 км/ч. А градусов завтра обещают 8, это больше, чем 5.
Сравнил.
Есть смысл? Бред?
Ну вот примерно так же осмысленно сравнивать значения $f(x)$ и $f'(x)$.

ниче не понял. уравнение скорости $V=S/T$ дает зависимость между расстоянием и временем и в нем нет производных. в уравнении $x^2$ есть координаты, из них можно вычислить расстояния, тогда почему нет зависимости между $x^2$ и $2x$ ?

gris в сообщении #705568 писал(а):

ТС имел в виду, что точка перемещается по закону $f(x)=x^2$.

да

[TOTAL]

ult1m в сообщении #705572 писал(а):

в уравнении $x^2$ есть координаты, из них можно вычислить расстояния

Какие расстояния, как вычислить, покажите здесь.

[gris]

Имеет смысл сравнивать производную не с одним значением функции, а с двумя. Если функция достаточно хорошая, то мы можем утверждать, что для любых $x_1$ и $x_2$ существует точка $x_3$ между ними, где
$f'(x_3)=\dfrac {f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$.

Например, для нашего случая $f(x)=x^2:$ возьмём точки $x_1=20; x_2=16$.
$\dfrac {f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\dfrac {400-256}{20-16}=36$. И точно, в точке $x=18$ производная $f'(x)=2x=2\cdot 18=36$. И так для любой пары точек.
А в одной точке сравнивать значение функции и производной никак нельзя.

[bot]

gris в сообщении #705575 писал(а):

А в одной точке сравнивать значение функции и производной никак нельзя

Что-то с пальцем можно, а функцию с производной нельзя? Другой вопрос - а зачем их сравнивать?

[ult1m]

TOTAL в сообщении #705573 писал(а):

ult1m в сообщении #705572 писал(а):

в уравнении $x^2$ есть координаты, из них можно вычислить расстояния

Какие расстояния, как вычислить, покажите здесь.

расстояние, между двумя точками, которое пройдет предмет за время t

gris в сообщении #705575 писал(а):

Имеет смысл сравнивать производную не с одним значением функции, а с двумя. Если функция достаточно хорошая, то мы можем утверждать, что для любых $x_1$ и $x_2$ существует точка $x_3$ между ними, где
$f'(x_3)=\dfrac {f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$.

Например, для нашего случая $f(x)=x^2:$ возьмём точки $x_1=20; x_2=16$.
$\dfrac {f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\dfrac {400-256}{20-16}=36$. И точно, в точке $x=18$ производная $f'(x)=2x=2\cdot 18=36$. И так для любой пары точек.
А в одной точке сравнивать значение функции и производной никак нельзя.

интересно. а что это дает? мы вычислили значение производной просто другим способом.
для меня "скорость" - это довольно инертное слово, я представляю "километры-в-час" и "v=s/t", а производная - это "скорость изменения функции", ее не измерить в км/ч и это тормозит мое понимание...
зачем нужно знать "скорость изменения функции" и где это знание можно применить?

[TOTAL]

ult1m в сообщении #705582 писал(а):

TOTAL в сообщении #705573 писал(а):

ult1m в сообщении #705572 писал(а):

в уравнении $x^2$ есть координаты, из них можно вычислить расстояния

Какие расстояния, как вычислить, покажите здесь.

расстояние, между двумя точками, которое пройдет предмет за время t

Какой предмет, как вычислить, покажите здесь. Пока ваши посты похожи на тролление.

[Алексей К.]

ult1m в сообщении #705557 писал(а):

Я знаю, что производная от положения - это скорость

Здесь балаболили о чём-то похожем:

f(x(t)) в сообщении #633262 писал(а):

Что такое производная? Тангенс угла наклона или скорость? В первом случае это скаляр, во втором вектор.

Алексей К. в сообщении #633277 писал(а):

Производная --- это, ...

[gris]

В той теме топикстартера заморозили. Означает ли это, что ему обнулили производную?

Ответ: Кажется, он сменил имя. Оттого и заморозили. А производную при этом движок обнуляет автоматически. // AKM

[ult1m]

TOTAL в сообщении #705584 писал(а):

Какой предмет, как вычислить, покажите здесь. Пока ваши посты похожи на тролление.

$\sqrt((x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2)$ как это помогло ответить на мой вопрос?

[ИСН]

Так у Вас что, точка едет по графику функции?

[TOTAL]

ult1m в сообщении #705629 писал(а):

TOTAL в сообщении #705584 писал(а):

Какой предмет, как вычислить, покажите здесь. Пока ваши посты похожи на тролление.

$\sqrt((x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2)$ как это помогло ответить на мой вопрос?

Ни это, ни что-либо другое не помогут ответить, т.к. вопроса пока нет. Попытайтесь задать вопрос так, чтобы его поняли.