Геометрическое неравенство

[arqady]

Пусть $a$, $b$ и $c$ - длины сторон треугольника, $R$ - радиус описанной и $r$ - радиус вписанной окружности. Докажите, что:

$$\frac{R}{r}+1\geq\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$$

[Keter]

$\dfrac{R}{r}+1=\dfrac{abc}{4(p-a)(p-b)(p-c)}+1$

$abc \ge 8(p-a)(p-b)(p-c)$

$\dfrac{R}{r}+1 \ge 3$

Интересно получилось

-- 29.03.2013, 18:08 --

$$\dfrac{c}{2\sin^2 \alpha}+\dfrac{\sin \gamma}{2\sin^2 \beta}+\dfrac{1}{2\sin^2 \beta}+1 \ge \dfrac{\sin \alpha}{\sin \beta}+\dfrac{\sin \beta}{\sin \gamma}+\dfrac{\sin \gamma}{\sin \alpha}$$

Это очевидно для произвольного треугольника?

[Keter]

$ab+bc+ac < a^2b+b^2c+c^2a \le 16R^2+32Rr+16r^2=16(R+r)^2$
$abc=4Rrp$
$(R/r+1)abc=4Rp(R+r) \ge 16(R+r)^2 \ge a^2b+b^2c+c^2a$
$R/r+1 \ge (a^2b+b^2c+c^2a)/abc=a/b+b/c+a/b$

-- 02.04.2013, 23:54 --

arqady, скажите, я хотя бы в правильном направлении?

[arqady]

Keter в сообщении #705020 писал(а):

$ab+bc+ac < a^2b+b^2c+c^2a \le 16R^2+32Rr+16r^2=16(R+r)^2$

Здесь что-то неверно.

[Keter]

arqady, я уже понял, что там неверно. Но не могу исправить. Пытаюсь, но не получается: я доказал, что $ab+bc+ac \le 4(R+r)^2,$ но не могу оценить $ab^2+b^2c+c^2a$... Не знаю почему, может опыта не хватает.

Зато я случайно доказал, что $ab+bc+ca=4Rr+p^2+r^2$. Это вообще правильно?

[arqady]

Keter в сообщении #705428 писал(а):

Зато я случайно доказал, что $ab+bc+ca=4Rr+p^2+r^2$. Это вообще правильно?

Правильно. Вообще-то много чего правильного на этом свете имеется...

[Keter]

arqady в сообщении #705448 писал(а):

Вообще-то много чего правильного на этом свете имеется...

И даже больше. Но похоже, парадоксальность в том, что мы не заслужили "свет"...

[arqady]

(Оффтоп)

Keter в сообщении #705450 писал(а):

arqady в сообщении #705448 писал(а):

Вообще-то много чего правильного на этом свете имеется...

И даже больше. Но похоже, парадоксальность в том, что мы не заслужили "свет"...

По-моему, этот свет - это мы, люди и есть. Поэтому непонятно мне это Ваше "не заслужили".

[Keter]

(Оффтоп)

arqady в сообщении #705701 писал(а):

По-моему, этот свет - это мы, люди и есть. Поэтому непонятно мне это Ваше "не заслужили".

Да это я Булгакова недавно прочитал. Мастер заслужил не "свет", а "покой", что являлось для него одновременно и карой и местом покаяний, - новый свободный мир.
Но я имел в виду то, что: да, на свете много чего правильного, но узнать это всё мы не очень то заслуживаем ("свет" науки). Просто я так смотрю, что довольно большая часть открытий хорошего принесла мало.. Сама мысль о том как могут использовать квантовые компьютеры террористы уже интересна. То есть само по себе открытие безусловно грандиозное и полезное, но есть и стороны, которые не заинтересованы в чистой науке и познании мира.

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #702498 писал(а):

Пусть $a$, $b$ $c$ - длины сторон треугольника, $R$ - радиус описанной и $r$ - радиус вписанной окружности. Докажите, что:

$$\frac{R}{r}+1\geq\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$$

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{R}{abc}(c(\sin(\alpha)a+\sin(\gamma)b)+b(\sin(\gamma)c+\sin(\beta)a)+a(\sin(\beta)b+\sin(\alpha)c)) \le$$ $$\frac{1}{4pr}(c\sqrt{a^2+b^2+2ab\cos{\beta}}+b\sqrt{c^2+a^2+2cb\cos{\alpha}}+a\sqrt{b^2+c^2+2bc\cos{\gamma}})\le$$

$$\frac{1}{4pr} (a+b+c)\sqrt{\frac{(ab+bc+ca)(a+b+c)-3abc+2abc(\cos(\alpha)+\cos(\beta)+\cos(\gamma))}{a+b+c}}=$$

$$\frac{1}{2r}\sqrt{(ab+bc+ca)-6rR+4rR\frac{R+r}{R})}\le$$

$$\frac{1}{2r}\sqrt{4(R+r)^2-2rR+4r^2}\le \frac{R+r}{R}$$

[arqady]

Отличная работа, Sergic Primazon!
(У Вас в конце описка)

Следующее неравенство тоже верно.
Пусть $a$, $b$ и $c$ - длины сторон треугольника, $R$ - радиус описанной и $r$ - радиус вписанной окружности. Докажите, что:

$$\frac{R}{r}+\frac{r}{R}+\frac{1}{2}\geq\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$$

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #751614 писал(а):

Отличная работа, Sergic Primazon!
(У Вас в конце описка)

Следующее неравенство тоже верно.
Пусть $a$, $b$ и $c$ - длины сторон треугольника, $R$ - радиус описанной и $r$ - радиус вписанной окружности. Докажите, что:

$$\frac{R}{r}+\frac{r}{R}+\frac{1}{2}\geq\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$$

Пусть :

$$h_2=\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a} \le \frac{a}{b }+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=h_1$$

$$h_{1,2}=\frac{1}{2}\left( \frac{p^2+r^2}{2rR}-1\pm \sqrt{-\frac{p^2}{4R^2}+(\frac{5r}{R}-\frac{r^2}{2R^2}+1)-\frac{Rr}{4}\left(\frac{r}{R}+4 \right)^3\frac{1}{p^2}}\right)$$

отсюда получаем оценку :

$$ h_1 \le \frac{R}{r}+\frac{r}{R}+\frac{1}{2}$$