Определение Непрерывности

[Бабай]

Привет!
Я довольно потерян при виде вот этой задачи:

Пусть $f:{\mathbb{R}}^n\longrightarrow{\mathbb{R}}^m$
Доказать, что f тогда и только тогда непрерывно, если для всех $M\subset{\mathbb{R}}^n$ имеет место включение $f(closM)\subseteq{clos{}f(M)}$ ($clos{}M обозначает замыкание множества М)

Я до сих пор бьюсь с такими понятиями как открытое множество, замкнутое множество, компакты, т.е. не над самими понятиями (они мне более менее только сейчас становятся понятными и привычными), а над их применениями в доказательствах. Насколько я знаю, это тематика общей топологии. Не знаю, как вы считаете, нормально ли вести курс анализа в первом семестре почти полностью на языке общей топологии, т.е. обобщая весь анализ и прибегая всюду к высокого уровня абстрактности, которая всем моим однокурсникам, не только мне, кажется излишней?

Может задача и проста. Однако немного пораздумав, я решил решить её под вашим руководством, уж слишком много пунктов на неё, которые из-за неправильных рассуждений можно потерять.
Я хотел бы, чтобы вы задали мне по ходу дела наводящие вопросы, т.е. прошу не решать её за меня.
...Но первый вопрос за мной. Задача называется "Альтернативное Определение Непрерывности"...С каких это пор в математике доказываются определения??? (...и действительно, например у Архипова и Садовничего в их Лекциях по Матану нашёл почти тоже самое как определение...и конечно без доказательства)

[незваный гость]

Вы можете иногда дать несколько определений одного и того же понятия, если существует теорема об их эквивалентности. Пример - определение предела функции в точке на языке $\varepsilon$ - $\delta$ и на языке последовательностей. Вы можете принять любое из них как определение, и доказывать второе как теорему. Поскольку это один и тот же объект, после доказательства эквивалентности все равно, каким из определений пользоваться.

[hoadaica]

я советую почитать книгу Рид и Саймона: современные методы в мат.физике. Там подробно рассматриваются понятия непрерывности с разных точек зрения. Также вводится понятие направленности, обобщённое понятие последовательности, очень полезно не.

[Dan_Te]

Напишите определение непрерывности, которое было у вас в курсе.

[PAV]

Вообще настоятельно рекомендую читать книгу Колмогорова, Фомина "Элементы теории функций и функционального анализа". Там как раз указанный круг тем освящен достаточно широко и на хорошем математическом уровне. Интересующие вопросы по различным определениям и их эквивалентности советую в первую очередь искать там.

[Бабай]

Главное определение, которым мы пользуемся, следующее:
Отображение f:X\longrightarrow{Y} называется непрерывным, если для всех \epsilon>0 существует \delta>0 такое что для всех x\in{X}, таких что d_X(x,x_0)<\delta, выполняется неравенство: d_Y(f(x),f(x_0))<\epsilon

Я не понимаю, как это определение формально согласовать с замыканием множеств X или Y.

Я забыл сказать про подсказку:
"Использовать замыкание множества всех членов определённых подпоследованностей и его отображение под f, чтобы прийти к противоречию." ...меня она что-то совсем с толку сбила.

[PAV]

Я дам наводку на решение задачи, чтобы Вам было над чем подумать самому.

Будем доказывать в одну сторону. Пусть $f([M])\subseteq [f(M)]$ (будем обозначать замыкание множества M через [M]). Хотим доказать непрерывность f в некоторой точке $x_0$. Предположим противное, т.е. непрерывности нет. Отсюда следует (это аккуратно докажите самостоятельно), что существует такое число $\varepsilon>0$ и такая последовательность $x_n\to x_0$, что все точки $f(x_n)$ отстоят от $f(x_0)$ больше, чем на $\varepsilon$.

Теперь возьмите в качестве множества M последовательность $\{x_n\}$ и получите противоречие тому, что мы предполагали.

[Someone]

Бабай писал(а):

Я не понимаю, как это определение формально согласовать с замыканием множеств X или Y.

Я забыл сказать про подсказку:
"Использовать замыкание множества всех членов определённых подпоследованностей и его отображение под f, чтобы прийти к противоречию." ...меня она что-то совсем с толку сбила.

Используйте предел последовательности. Точка $x_0\in X$ принадлежит замыканию множества $M\subseteq X$ тогда и только тогда, когда существует такая последовательность точек $x_n\in M$, $n\in\mathbb N$, что $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0$.