2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Определение Непрерывности
Сообщение13.01.2006, 01:41 
Аватара пользователя
Привет!
Я довольно потерян при виде вот этой задачи:

Пусть $f:{\mathbb{R}}^n\longrightarrow{\mathbb{R}}^m$
Доказать, что f тогда и только тогда непрерывно, если для всех $M\subset{\mathbb{R}}^n$ имеет место включение $f(closM)\subseteq{clos{}f(M)}$ ($clos{}M обозначает замыкание множества М)

Я до сих пор бьюсь с такими понятиями как открытое множество, замкнутое множество, компакты, т.е. не над самими понятиями (они мне более менее только сейчас становятся понятными и привычными), а над их применениями в доказательствах. Насколько я знаю, это тематика общей топологии. Не знаю, как вы считаете, нормально ли вести курс анализа в первом семестре почти полностью на языке общей топологии, т.е. обобщая весь анализ и прибегая всюду к высокого уровня абстрактности, которая всем моим однокурсникам, не только мне, кажется излишней?

Может задача и проста. Однако немного пораздумав, я решил решить её под вашим руководством, уж слишком много пунктов на неё, которые из-за неправильных рассуждений можно потерять.
Я хотел бы, чтобы вы задали мне по ходу дела наводящие вопросы, т.е. прошу не решать её за меня.
...Но первый вопрос за мной. :D Задача называется "Альтернативное Определение Непрерывности"...С каких это пор в математике доказываются определения??? :? (...и действительно, например у Архипова и Садовничего в их Лекциях по Матану нашёл почти тоже самое как определение...и конечно без доказательства)

 
 
 
 
Сообщение13.01.2006, 02:07 
Аватара пользователя
:evil:
Вы можете иногда дать несколько определений одного и того же понятия, если существует теорема об их эквивалентности. Пример - определение предела функции в точке на языке $\varepsilon$ - $\delta$ и на языке последовательностей. Вы можете принять любое из них как определение, и доказывать второе как теорему. Поскольку это один и тот же объект, после доказательства эквивалентности все равно, каким из определений пользоваться.

 
 
 
 
Сообщение13.01.2006, 16:47 
я советую почитать книгу Рид и Саймона: современные методы в мат.физике. Там подробно рассматриваются понятия непрерывности с разных точек зрения. Также вводится понятие направленности, обобщённое понятие последовательности, очень полезно не.

 
 
 
 
Сообщение13.01.2006, 18:34 
Напишите определение непрерывности, которое было у вас в курсе.

 
 
 
 
Сообщение14.01.2006, 10:07 
Аватара пользователя
Вообще настоятельно рекомендую читать книгу Колмогорова, Фомина "Элементы теории функций и функционального анализа". Там как раз указанный круг тем освящен достаточно широко и на хорошем математическом уровне. Интересующие вопросы по различным определениям и их эквивалентности советую в первую очередь искать там.

 
 
 
 
Сообщение15.01.2006, 21:14 
Аватара пользователя
Главное определение, которым мы пользуемся, следующее:
Отображение f:X\longrightarrow{Y} называется непрерывным, если для всех \epsilon>0 существует \delta>0 такое что для всех x\in{X}, таких что d_X(x,x_0)<\delta, выполняется неравенство: d_Y(f(x),f(x_0))<\epsilon

Я не понимаю, как это определение формально согласовать с замыканием множеств X или Y.

Я забыл сказать про подсказку:
"Использовать замыкание множества всех членов определённых подпоследованностей и его отображение под f, чтобы прийти к противоречию." ...меня она что-то совсем с толку сбила.

 
 
 
 
Сообщение15.01.2006, 22:53 
Аватара пользователя
Я дам наводку на решение задачи, чтобы Вам было над чем подумать самому.

Будем доказывать в одну сторону. Пусть $f([M])\subseteq [f(M)]$ (будем обозначать замыкание множества M через [M]). Хотим доказать непрерывность f в некоторой точке $x_0$. Предположим противное, т.е. непрерывности нет. Отсюда следует (это аккуратно докажите самостоятельно), что существует такое число $\varepsilon>0$ и такая последовательность $x_n\to x_0$, что все точки $f(x_n)$ отстоят от $f(x_0)$ больше, чем на $\varepsilon$.

Теперь возьмите в качестве множества M последовательность $\{x_n\}$ и получите противоречие тому, что мы предполагали.

 
 
 
 
Сообщение15.01.2006, 22:57 
Аватара пользователя
Бабай писал(а):
Я не понимаю, как это определение формально согласовать с замыканием множеств X или Y.

Я забыл сказать про подсказку:
"Использовать замыкание множества всех членов определённых подпоследованностей и его отображение под f, чтобы прийти к противоречию." ...меня она что-то совсем с толку сбила.


Используйте предел последовательности. Точка $x_0\in X$ принадлежит замыканию множества $M\subseteq X$ тогда и только тогда, когда существует такая последовательность точек $x_n\in M$, $n\in\mathbb N$, что $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0$.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group