Помогите решить интеграл

[Cinderella]

Привет ребята!

Мне нужно посчитать частоту попадания в интервал нормального распределения(параметры 0,5 и 49).

Для это пользуюсь формулой

$$P \{ a\leqslant x \leqslant b \}=F(b)-F(a)$$

$$ F(x) =\frac{1}{49 \sqrt{2 \pi} } \int_{-oo}^x e^{- \frac{(t-0,5)^2}{2(49)^2} } dt $$

Делаю замену:

$$ \frac{(t-0,5)^2}{(49)^2}=z^2$$

$$ t=49 z+0,5$$

\int_{-oo}^x e^{- \frac{(t-0,5)^2}{2(49)^2} } dt = 49 \int_{-oo}^{\frac{x-0,5}{49}} e^{\frac{-z^2}{2}}dz=49\sqrt{2\pi} (\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-oo}^{y} e^{\frac{-z^2}{2}}dz)

$$ y= \frac {(x-0,5)}{49} $$

F(b)-F(a)= \Phi( \frac{b-0,5}{49})- \Phi( \frac{a-0,5}{49})


После подсчёта данных получаются вероятности попадания в интервалы в 4 раза больше, "чем надо" , где притаилась ошибка?

[Brukvalub]

Этот интеграл в общем случае не выражается в элементарных функциях. Нужно пользоваться таблицами, предварительно приведя его к стандартному нормальному распределению (с параметрами 0 , 1)

[Cinderella]

А как его привести к стандартному и не будет ли это другое распределение с другими результатами попадания в интервал?

[Brukvalub]

Cinderella писал(а):

А как его привести к стандартному и не будет ли это другое распределение с другими результатами попадания в интервал?

Вы, отредактировав свое сообщение, уже почти привели распределение к стандартному, только
1. не отнормировали коэффициент в показателе степени и перед интегралом
2. не пересчитали для новой переменной верхний предел интегрирования.
3. Почитайте вот это: http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv ... ION0007503
а еще лучше - вот это: http://www.wikiznanie.ru/ru-wz/index.ph ... 0%B8%D0%B5

[Cinderella]

Спасибо, метод теперь стал понятен, но вот вычисления не сходются . помогите найти ошибку в заглавном посте.

[Someone]

Cinderella писал(а):

Спасибо, метод теперь стал понятен, но вот вычисления не сходются :( . помогите найти ошибку в заглавном посте.

$dt=49dz$

P.S. Знаков доллара в формуле должно быть всего два (один в самом начале и один в самом конце) или четыре (два в самом начале и два в самом конце). Символ $\infty$ кодируется как \infty, а греческая $\Phi$ - как \Phi.

[Zo]

Cinderella писал(а):

$F(b)-F(a)= \Phi( \frac{b-0,5}{49})- \Phi( \frac{a-0,5}{49})$

если 49 - это дисперсия, а не сигма, то в знаменателе должно быть 7, а не 49. Просто обычно параметры нормального распределения - это мат. ожидание и дисперсия. Из-за этого у Вас начиная с первой формулы ошибка. Вместо 49 везде 7 поставьте.

[Cinderella]

49-сигма N(0,5;49)

[Brukvalub]

А какой именно таблицей "хвостов" Вы пользуетесь? Не используется ли в этой таблице какая-нибудь иная нормировка ?

[Zo]

Cinderella писал(а):

49-сигма Wink N(0,5;49)

Вот в такой записи обычно это как раз не сигма, а ее квадрат. А если все же сигма, то тогда у Вас правильный ответ

[Capella]

То, что говорит Zo - верно. Нормальное распределение задаётся через два параметра: $X \sim N(\mu, \sigma^2)$
Вы не должны путать то, что подставляете в степень числа $e$ под интегралом с тем, как задано табличное распределение. В Вашем случае, надо делать так:
$P(a \leq x \leq b ) = \Phi(\frac{b - 0.5} 7) - (1 - \Phi(\frac{a - 0,5} 7))$

Добавлено спустя 20 минут 35 секунд:

И ещё одна проблема возможна... У Вас там двойное неравенство, т.е. величина лежит в замкнутом интервале. Тогда необходимо ещё учесть то, что надо вычесть из 1, поскольку в общем случае следует:
$P(X \leq x) = \Phi(x)$, но $P(X \geq x) = 1 - \Phi(x)$. При этом надо обращать большое внимание на знаки концов интервала, поскольку минусы могут "мигать".

Добавлено спустя 22 минуты 5 секунд:

Capella писал(а):

При этом надо обращать большое внимание на знаки концов интервала, поскольку минусы могут "мигать".

Упс, это я тоже неправильно написала - распределение-то стандартное внутри интервала, а соответственно там вот так тогда правильно, если одно из чисел негативно:
$P (-x \leq X \leq x) = 2\cdot \Phi(x) -1$

Это следует из того, что $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$

То, что я написала сначала верно если $X$ снаружи интервала

[Zo]

Capella писал(а):

В Вашем случае, надо делать так:
$P(a \leq x \leq b ) = \Phi(\frac{b - 0.5} 7) - (1 - \Phi(\frac{a - 0,5} 7))$

Вот так как раз делать не надо. Это если $a\le 0.5$,но и тогда будет $1 - \Phi(\frac{ 0,5-a} 7))$, а не $(1 - \Phi(\frac{a - 0,5} 7))$

[Capella]

Zo

Это верно, но я же ведь и написала уже: если значение $x$ негативно.

[Zo]

Capella писал(а):

Zo

Это верно, но я же ведь и написала уже: если значение $x$ негативно.

Значит я невнимательно прочитал

[Capella]

Хм, опять что-то не так?

$\Phi(\frac {a - \mu}{\sigma}) = \Phi(x)$. Из условия того, что $x$ отрицателен следует $a \leq \mu$. Вот.