Задачи по функциональному анализу

[Наталья Сергеевна]

Помогите,пожалуйста,решить задачу (буду рада любому совету):

1)Доказать, что сепарабельное банахово пространство (X, || ||) рефлексивно тогда и только тогда, когда единичный шар {x принадлежит X | ||x|| <=1 } компактен в слабой топологии.

2)Доказать,что замкнутое подпространство рефлексивного сепарабельного пространста рефлексивно.

3)Доказать, что алгебраическая размерность любого бесконечномерного банахова пространства несчетна.

Заранее огромное спасибо.

[Brukvalub]

Наталья Сергеевна писал(а):

1)Доказать, что сепарабельно банахово пространство (X, || ||) рефлексивно тогда и только тогда, когда единичный шар {x принадлежит X | ||x|| <=1 } компактен в слабой топологии.

В одну сторону: пусть В единичный шар в несепарабельном банаховом пространстве L, тогда

\[B \subset L \subset L''\]

, и

\[B''\]

- единичный шар в

\[{L''}\]

. Тогда замыкание В в слабой топологии совпадает с

\[B''\]

. Если пространство L не рефлексивно, то

\[B \ne B''\]

, и тогда В не является компактным в слабой топологии (его замыкание в этой топологии оказывается шире самого шара). В обратную сторону - используйте т. Теорема Банаха--Алаоглу.

Наталья Сергеевна писал(а):

2)Доказать,что замкнутое подпространство рефлексивного сепарабельного пространста рефлексивно.

Пусть подпространство

\[X \subset L\]

и

\[L'\;,\;L'' = L\]

первое и второе сопряженные пространства к L. Покажите, что

\[X' \approx L'/X^ \bot \]

и тогда

\[(L'/X^ \bot )'\]

= {все функционалы над

\[{L'}\]

, которые на \[X^ \bot равны 0} , откуда и следует требуемое утверждение.

Наталья Сергеевна писал(а):

3)Доказать, что алгебраическая размерность любого бесконечномерного банахова пространства несчетна.

- это - прямое следствие т. Бэра о категории и того простого факта, что всякое бесконечномерное Банахово пространство - второй категории.

[Наталья Сергеевна]

не подскажете еще пожалуйста,как
показать, что

\[X' \approx L'/X^ \bot \]

[Brukvalub]

Наталья Сергеевна писал(а):

не подскажете еще пожалуйста,как
показать, что \[X' \approx L'/X^ \bot \]

Это следует прямо из определений: немного образно говоря, два функционала "неразличимы" на Х тогда и только тогда, когда все их значения на Х совпадают. Ну, а точное доказательство остаётся за Вами

[Наталья Сергеевна]

Brukvalub писал(а):

Наталья Сергеевна писал(а):

не подскажете еще пожалуйста,как
показать, что \[X' \approx L'/X^ \bot \]

Это следует прямо из определений: немного образно говоря, два функционала "неразличимы" на Х тогда и только тогда, когда все их значения на Х совпадают. Ну, а точное доказательство остаётся за Вами

действительно,похоже,у меня от экзаменов мозги уже совсем потекли.спасибо огромное!

[Lyoha]

Наталья Сергеевна писал(а):

Помогите,пожалуйста,решить задачу (буду рада любому совету):

1)Доказать, что сепарабельное банахово пространство (X, || ||) рефлексивно тогда и только тогда, когда единичный шар {x принадлежит X | ||x|| <=1 } компактен в слабой топологии.

Вроде как сепарабельность здесь не при чём. Т.е. слабая компактность шара эквивалентна рефлексивности для любого банахова пространства.

[Brukvalub]

Lyoha писал(а):

Вроде как сепарабельность здесь не при чём. Т.е. слабая компактность шара эквивалентна рефлексивности для любого банахова пространства.

Так и есть, но, возможно, на лекциях использовались упрощенные формулировки теорем для сепарабельного случая, поэтому и вопрос так сформулирован.

[Наталья Сергеевна]

да,так оно и есть.вопрос поставили так,чтобы нам было проще.
но большое спасибо за замечание,обязательно учту при ответе на экзамене.