2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задачи по функциональному анализу
Сообщение19.06.2007, 21:50 
Помогите,пожалуйста,решить задачу (буду рада любому совету):

1)Доказать, что сепарабельное банахово пространство (X, || ||) рефлексивно тогда и только тогда, когда единичный шар {x принадлежит X | ||x|| <=1 } компактен в слабой топологии.

2)Доказать,что замкнутое подпространство рефлексивного сепарабельного пространста рефлексивно.

3)Доказать, что алгебраическая размерность любого бесконечномерного банахова пространства несчетна.

Заранее огромное спасибо.

 
 
 
 
Сообщение19.06.2007, 22:58 
Аватара пользователя
Наталья Сергеевна писал(а):
1)Доказать, что сепарабельно банахово пространство (X, || ||) рефлексивно тогда и только тогда, когда единичный шар {x принадлежит X | ||x|| <=1 } компактен в слабой топологии.

В одну сторону: пусть В единичный шар в несепарабельном банаховом пространстве L, тогда \[B \subset L \subset L''\], и \[B''\] - единичный шар в \[{L''}\]. Тогда замыкание В в слабой топологии совпадает с \[B''\]. Если пространство L не рефлексивно, то \[B \ne B''\], и тогда В не является компактным в слабой топологии (его замыкание в этой топологии оказывается шире самого шара). В обратную сторону - используйте т. Теорема Банаха--Алаоглу.

Наталья Сергеевна писал(а):
2)Доказать,что замкнутое подпространство рефлексивного сепарабельного пространста рефлексивно.
Пусть подпространство\[X \subset L\] и \[L'\;,\;L'' = L\] первое и второе сопряженные пространства к L. Покажите, что \[X' \approx L'/X^ \bot  \]
и тогда \[(L'/X^ \bot  )'\]= {все функционалы над \[{L'}\] , которые на \[X^ \bot равны 0} , откуда и следует требуемое утверждение.

Наталья Сергеевна писал(а):
3)Доказать, что алгебраическая размерность любого бесконечномерного банахова пространства несчетна.
- это - прямое следствие т. Бэра о категории и того простого факта, что всякое бесконечномерное Банахово пространство - второй категории.

 
 
 
 
Сообщение19.06.2007, 23:04 
не подскажете еще пожалуйста,как
показать, что \[X' \approx L'/X^ \bot  \]

 
 
 
 
Сообщение19.06.2007, 23:11 
Аватара пользователя
Наталья Сергеевна писал(а):
не подскажете еще пожалуйста,как
показать, что \[X' \approx L'/X^ \bot \]
Это следует прямо из определений: немного образно говоря, два функционала "неразличимы" на Х тогда и только тогда, когда все их значения на Х совпадают. Ну, а точное доказательство остаётся за Вами :wink:

 
 
 
 
Сообщение19.06.2007, 23:35 
Brukvalub писал(а):
Наталья Сергеевна писал(а):
не подскажете еще пожалуйста,как
показать, что \[X' \approx L'/X^ \bot \]
Это следует прямо из определений: немного образно говоря, два функционала "неразличимы" на Х тогда и только тогда, когда все их значения на Х совпадают. Ну, а точное доказательство остаётся за Вами :wink:


действительно,похоже,у меня от экзаменов мозги уже совсем потекли.спасибо огромное!

 
 
 
 Re: Помогите решить задачу по функциональному анализу!
Сообщение21.06.2007, 12:29 
Наталья Сергеевна писал(а):
Помогите,пожалуйста,решить задачу (буду рада любому совету):

1)Доказать, что сепарабельное банахово пространство (X, || ||) рефлексивно тогда и только тогда, когда единичный шар {x принадлежит X | ||x|| <=1 } компактен в слабой топологии.


Вроде как сепарабельность здесь не при чём. Т.е. слабая компактность шара эквивалентна рефлексивности для любого банахова пространства.

 
 
 
 
Сообщение21.06.2007, 12:50 
Аватара пользователя
Lyoha писал(а):
Вроде как сепарабельность здесь не при чём. Т.е. слабая компактность шара эквивалентна рефлексивности для любого банахова пространства.
Так и есть, но, возможно, на лекциях использовались упрощенные формулировки теорем для сепарабельного случая, поэтому и вопрос так сформулирован.

 
 
 
 
Сообщение21.06.2007, 13:35 
да,так оно и есть.вопрос поставили так,чтобы нам было проще.
но большое спасибо за замечание,обязательно учту при ответе на экзамене.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group